三角形和特殊三角形

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1、三角形和特殊三角形主講：高金鳳舊知回眸本專題的內(nèi)容分別在蘇科版教材七年級下冊第7章《平面圖形的認識（二）》第4、5節(jié)、八年級上冊第1章《軸對稱圖形》第4、5、6節(jié)和第2章《勾股定理與平方根》第1、2節(jié)，主要研究三角形與特殊三角形的概念、性質(zhì)和判定方法。1、三角形的知識結(jié)構(gòu)（1）三角形三條邊之間具有什么關(guān)系？怎樣把握？三角形三條邊之間的關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．掌握和靈活運用這個關(guān)系可以解決與之相關(guān)的許多問題．注意已知三角形的兩邊長求第三邊的取值范圍時，一定要同時考慮第三邊大于另兩邊之差，小于另兩邊之和；在三角形三邊的大小關(guān)系可確定

2、的情況下，也可用較小的兩邊之和與第三邊比較，判斷其是否滿足三角形的三邊關(guān)系。2、要點歸納例1.一個三角形的兩邊長分別為5cm和11cm，那么第三邊的長度在以下選項中只能是()3cmB.4cmC.5cmD.7cm【點撥】根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系，第三邊長的取值范圍是大于6cm,小于16cm,故選D.【點評】本題考查了三角形三邊之間的關(guān)系，考查一般有以下呈現(xiàn)方式：①已知兩邊，求第三邊的可能取值；②給定三線段的長度，判斷能否構(gòu)成三角形；③已知三角形的三邊長分別為a、b、c，判斷“a+b+c、a+b-c、a-b-c”正負性.（2）怎樣認識三角形的三個內(nèi)角之間的關(guān)系？“三角

3、形三個內(nèi)角和等于180°”，是三角形中角與角之間的一個重要關(guān)系，根據(jù)這個關(guān)系可得：①直角三角形的兩個銳角互余；②三角形的一個外角等于與他不相鄰的兩個內(nèi)角和，三角形的一個外角大于任何一個與他不相鄰的內(nèi)角；③一個三角形中最多只有一個直角或鈍角．因此，三角形按角的大小分類可以分為三類：銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，三角形三個內(nèi)角之間的關(guān)系有著廣泛的應(yīng)用．在解決和三角形有關(guān)的問題時，內(nèi)角和等于180°，是一個非常重要的等量關(guān)系，我們常利用它來得到和角有關(guān)的方程(組)，從而可把和三角形有關(guān)的幾何問題轉(zhuǎn)化為方程(組)的代數(shù)問題來解決．（3）三角形的角平分線、中線和高線有

4、什么區(qū)別？三角形的角平分線、中線和高線都是三角形中的重要線段．每個三角形都有三條角平分線、三條中線、三條高，它們之間的相同點：①都是線段；②都是從頂點畫出；③都能交于一點．不同點：①角平分線平分內(nèi)角，中線平分邊，高垂直于邊；②三角形的角平分線和中線都是在三角形的內(nèi)部，直角三角形有兩條高都在邊上，鈍角三角形有兩條高在三角形的外部．三角形的形狀未知時，三角形高的位置也未知，需要分類.例2.為美化小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)有一塊面積為160m2的等腰三角形草地，測得其腰長為20m，現(xiàn)要給這塊三角形草地圍上白色的低矮柵欄，則柵欄的長度為ｍ．【點評】草地的形狀是等腰三角形,可以是銳角

5、三角形也可以是鈍角三角形，因此需要分兩種情況：①高在三角形的內(nèi)部,如圖１,AC=20m，CD=16m,于是可得AD=12m,BD=8m,BC=m,周長為(40+)mD圖1-(1)CBA②高在三角形的外部，如圖2，AC=20m,CD=16m,于是AD=12m,BD=32m,BC=m,其周長為(40+)m.【點評】本題的條件中潛藏著圖形的不確定因素：“等腰三角形的頂角是銳角、還是鈍角”，因此需要分情況畫出圖形，運用勾股定理進行計算.圖1-(2)DCBA（4）怎樣把握等腰三角形？①等腰三角形的分類：可分為一般等腰三角形（腰和底不等）和特殊的等腰三角形（三邊都相等的等腰三

6、角形）即等邊三角形．另外頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．②等腰三角形的性質(zhì)及其兩個推論．性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等．推論1：等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊，即“三線合一”．推論2：等邊三角形的各個內(nèi)角都相等，即每個內(nèi)角都等于60°．例3．如圖2-(1)，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，O為BC中點，以O(shè)為端點任作兩條互相垂直的射線與兩腰分別相交于M、N點。(1)請猜想△OMN的形狀，并證明你的猜想；【點撥】(1)根據(jù)等腰三角形的“三線合一”，連接AO，易得△AMO≌△CNO,所以O(shè)M=ON，∠AOM=∠CON,所以∠AOC=∠MON

7、=90°，所以△OMN是等腰直角三角形；NMOCBA圖2-(1)(2)將∠MON繞點O旋轉(zhuǎn)，使其兩邊分別與BA、AC的延長線相交于點M、N，如圖2-(2),試問(1)中的結(jié)論是否仍成立，并說明理由。【點撥】(2)根據(jù)等腰三角形的“三線合一”，連接AO，易得△AMO≌△CNO,所以O(shè)M=ON，∠AOM=∠CON,所以∠AOC=∠MON=90°，所以△OMN是等腰直角三角形。ONMCBA圖2-(2)【點評】判斷三角形的形狀一般從兩個角度入手：①邊的特征；②角的特征.等腰三角形中遇底邊的中點通常想到“三合一線”.圖形旋轉(zhuǎn)變化是幾何問題拓展變式的重要策略，因此把握圖形旋轉(zhuǎn)

8、的特征有助