相似存在性問題

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1、相似存在性問題解析相似存在性問題分析思路（1）定方向：直角三角形相似；等腰三角形相似；一般三角形相似（2）定分類：結(jié)合已知選用恰當(dāng)?shù)姆诸惙椒ㄟM(jìn)行分類。（SSS、SAS、AA）（3）定解法：（1）無角相似；恰當(dāng)?shù)倪x擇相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比建立方程求解（2）有角解直；出現(xiàn)特殊角度的可以考慮解直角三角形。（4）定結(jié)果：將結(jié)果匯總。模型一：直角三角形相似問題例1：如圖，矩形在平面直角坐標(biāo)系中位置，，，直線與邊相交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，試確定此拋物線的表達(dá)式；（3）設(shè)（2）中的拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，以為頂點(diǎn)的三

2、角形與相似，求符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．yOCDB6AxAMP1P2分析：（1）定方向：△OCD是兩條直角邊分別為3和4的直角三角形。則為直角三角形的相似問題。（2）定分類：如上圖，△POM與Rt△OCD已經(jīng)有一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角∠PMO=∠COD。所以△POM只要還有一個(gè)直角就可以利用AA判定這兩個(gè)三角形相似。所以分為兩種情況：∠OPM=90°和∠POM=90°（3）定解法：求P點(diǎn)坐標(biāo)，橫坐標(biāo)為3，只需要求縱坐標(biāo)。由于是Rt△POM斜邊的一部分。所以利用直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例建立方程求解。（4）定結(jié)論：兩種情況匯總。解：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）拋物線的表達(dá)式為．

3、（3）情形一：當(dāng)∠OPM=90°時(shí)，易證：．∵拋物線的對(duì)稱軸，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．yOCDB6AxAMP1P2情形二：當(dāng)∠POM=90°時(shí)，由可得：則設(shè)則；；OD=5，OC=3，CD=4①∽R(shí)t△DOC；；解之：∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，②∽R(shí)t△ODC；；解之：綜上所述：，練習(xí)1：已知二次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，直線（）與軸交于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在直線（）上有一點(diǎn)（點(diǎn)在第四象限），使得為頂點(diǎn)的三角形與以為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；答案：（1）（2）①，，∴，∵點(diǎn)在第四象限，∴②△EDB∽△COA，，∴，∵點(diǎn)在第四象限，∴．

4、綜上所述：；點(diǎn)睛：若去掉“點(diǎn)在第四象限”這個(gè)條件，則還有兩種情況，它們都位于x軸的上方?？梢岳脤?duì)稱性求解更為簡(jiǎn)潔。例2：如圖，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)．（1）求出拋物線的解析式；（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；分析：（1）定方向：△OAC是兩條直角邊分別為2和4的直角三角形。則為直角三角形的相似問題。（2）定分類：△OAC是一個(gè)直角三角形。只要夾直角的兩條對(duì)應(yīng)邊成比例就可以利用SAS判定這兩個(gè)三角形相似。所以分為兩種情況：PM長(zhǎng)邊、A

5、M短邊和PM短邊、AM長(zhǎng)邊。但是由于P點(diǎn)位置不確定，所以P點(diǎn)又有三種情況，如下圖。所以共有6種情況。（3）定解法：求P點(diǎn)坐標(biāo)，由于PM和AM易于表示且是Rt△PAM兩條直角邊。所以利用兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例建立方程求解。（4）定結(jié)論：兩種情況匯總。解：（1）（2）存在．設(shè)情形一：當(dāng)時(shí)，；AO=4；OC=2。①若△PMA∽△COA；②若△PMA∽△OCA；則情形二：當(dāng)時(shí)，；AO=4；OC=2。①若△PMA∽△COA；②若△PMA∽△OCA；則情形三：當(dāng)時(shí)，；AO=4；OC=2。③若△PMA∽△COA；④若△PMA∽△OCA；則綜上所述：、、練習(xí)2：如圖

6、，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．CPByA（2）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似．若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由．分析：GMCByPAGMCByPA答案：（1）ABC（2）存在，M點(diǎn)的坐標(biāo)為，，模型二：等腰三角形相似問題例3：如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(0，)，且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使△EAB與△ABC

7、相似？如果存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．分析：（1）定方向：△ABC是等腰三角形。則為等腰三角形的相似問題。（2）定分類：△OAC是一個(gè)直角三角形。只要夾直角的兩條對(duì)應(yīng)邊成比例就可以利用SAS判定這兩個(gè)三角形相似。所以分為兩種情況：PM長(zhǎng)邊、AM短邊和PM短邊、AM長(zhǎng)邊。但是由于P點(diǎn)位置不確定，所以P點(diǎn)又有三種情況，如下圖。所以共有6種情況。（3）定解法：求P點(diǎn)坐標(biāo)，由于PM和AM易于表示且是Rt△PAM兩條直角邊。所以利用兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例建立方程求解。（4）定結(jié)論：兩種情況匯總。解：（1）y=(x-4)2－（2）由（1）得：A

8、(1，0)，B(7，0)，C(4，)易證：AC=BC,且∠ACB=120°。情形一：AB為腰：以A為圓心，AB為半徑構(gòu)造△