Lagrange插值法1

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1、在生產和實驗中，函數f(x)無表達式,只知道f(x)在一些給定點的函數值(或其導數值)，或者其表達式復雜不便于計算，此時我們希望建立一個簡單而又便于計算的函數?(x)，使其近似的代替f(x).第四章插值與擬合插值法：插值法是利用函數f(x)在一組節(jié)點x0,x1,...,xn上的值y0,y1,…,yn，構造一個插值函數?(x)來逼近已知函數f(x)，并要求插值函數與已知函數在節(jié)點處的函數值相同,即:?(x0)=y0,?(x1)=y1,?,?(xn)=yn求近似函數?(x)的方法一般分為兩類:一類是插值,另一類是擬合.引例及問題綜述插值

2、法：插值法是利用函數在一組節(jié)點上的值，構造一個插值函數?(x)來逼近已知函數f(x)，并要求插值函數與已知函數在節(jié)點處的函數值相同。曲線擬合方法:不要求近似函數?(x)所表示的函數嚴格通過已知數據點(xi,yi),而是通過觀察這些點的分布規(guī)律，選擇某種能描述這一近似規(guī)律的函數?(x)來逼近函數f(x)，然后按照某種原則使逼近效果總體上盡可能好，其中最常見的原則就是最小二乘原理。但在實際應用中，節(jié)點上的函數值通常不是精確值，而是由實驗或測量得到的數據，不可避免的帶有誤差，如果用插值法，會保留這些誤差，影響精度。為了盡量減少這種測量誤差

3、，人們又提出了另外一種構造近似函數的方法——曲線擬合方法。原始數據的散點圖分段線性插值二次分段擬合曲線已知數據點(xi,yi)艾滋病療法的評價及療效的預測2006高教社杯全國大學生數學建模競賽題目艾滋病的醫(yī)學全名為“獲得性免疫缺損綜合癥”，英文簡稱AIDS，它是由艾滋病毒（醫(yī)學全名為“人體免疫缺損病毒”,英文簡稱HIV）引起的。這種病毒破壞人的免疫系統，使人體喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴重危害人的生命。人類免疫系統的CD4細胞在抵御HIV的入侵中起著重要作用，當CD4被HIV感染而裂解時，其數量會急劇減少，HIV將迅速增加，導致A

4、IDS發(fā)作。艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內HIV的數量，同時產生更多的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提高人體免疫能力。迄今為止人類還沒有找到能根治AIDS的療法，目前的一些AIDS療法不僅對人體有副作用，而且成本也很高。許多國家和醫(yī)療組織都在積極試驗、尋找更好的AIDS療法。附件1:同時服用3種藥物（zidovudine(齊多夫定),lamivudine(拉米夫定),indinavir(茚地那韋)）的300多名病人每隔幾周測試的CD4和HIV的濃度。第1列是病人編號，第2列是測試CD4的時刻（周），第3列是測得的C

5、D4（乘以0.2個/ml），第4列是測試HIV的時刻（周），第5列是測得的HIV（單位不詳）。現在得到了美國艾滋病醫(yī)療試驗機構ACTG公布的兩組數據。(略)PtIDCD4DateCD4CountRNADateVLoad23424017805.523424422843.923424812684.7234242517125423424409940501405.3………………………………………附件2:1300多名病人按照4種療法服藥大約每隔8周測試的CD4濃度。第1列是病人編號，第2列是4種療法的代碼：1=600mgzidovudine(

6、齊多夫定)與400mgdidanosine(去羥肌苷)按月輪換使用；2=600mgzidovudine加2.25mgzalcitabine(雙脫氧胞苷)；3=600mgzidovudine加400mgdidanosine；4=600mgzidovudine加400mgdidanosine加400mgnevirapine(奈韋拉平)。第3列是病人年齡，第4列是測試CD4的時刻（周），第5列是測得的CD4，取值log(CD4+1).ID療法年齡時間Log(CD4count+1)1236.427103.13551236.42717.571

7、43.04451236.427115.57142.77261236.427123.57142.83321236.427132.57143.2189………….請你完成以下問題：（1）利用附件1的數據，預測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間（繼續(xù)治療指在測試終止后繼續(xù)服藥，如果認為繼續(xù)服藥效果不好，則可選擇提前終止治療）。（2）利用附件2的數據，評價4種療法的優(yōu)劣（僅以CD4為標準），并對較優(yōu)的療法預測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間。（3）艾滋病藥品的主要供給商對不發(fā)達國家提供的藥品價格如下：600mgzidovudin

8、e1.60美元，400mgdidanosine0.85美元，2.25mgzalcitabine1.85美元，400mgnevirapine1.20美元。如果病人需要考慮4種療法的費用，對（2）中的評價和預測（或者提前終止）有什么改變。