中考數(shù)學教學指導(dǎo)：一道中考數(shù)學壓軸題的變式訓(xùn)練

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1、一道中考壓軸題的變式訓(xùn)練數(shù)學中考壓軸題的綜合性強、考察面廣、方法靈活多變，對學生數(shù)學能力要求很高.其實，大多數(shù)綜合題雖然有一定的難度，但考查的還是學生對基本知識的掌握，是在基礎(chǔ)知識上的綜合.學生Z所以對數(shù)學綜合題有恐懼感，是因為平時沒有很好地總結(jié)經(jīng)驗、規(guī)律，沒有舉一反三，觸類旁通.下面以一道屮考壓軸題為例，解析數(shù)學綜合題的變式訓(xùn)練.如圖1,拋物線y=ax2+bx+c與兀軸的一交點為A(—6,0),與y軸的交點為C(0,3),且經(jīng)過點G(—2,3).(1)求拋物線的表達式；(2)點P是線段04上一動點，過點P作平行于)，軸的直線與AC交

2、于點Q,設(shè)△CPQ的面積為S,求S的最大值；(3)若點B是拋物線與兀軸的另一交點，點D、M在線段AB上，點N在線段AC上，ZDCB=ZCDB,CD是MN的垂直平分線，求點M的坐標.解答(1)把A、C、G三點坐標代入拋物線解析式，可得0=36a—6b+c.解得???拋物線的表達式為(2)JC(0,3),可設(shè)直線AC解析式為y=也+3.把A點坐標代入，可得0二一6P+3,解得/?直線AC解析式為y=—x+3-?2設(shè)P點坐標為(X,0)(*0),則Q點坐標為(x,丄兀+3).2?：PQ=—x+3,P0二—x,2???S=*PQ?P011二_

3、(_x+3)(_x)22123=——X——X421°9=--U+3)-+-,449???/XCPQ的面積S的最大值為一.4(1)當尸0時,由一丄/一丄兀+3=0,84解得%=—6或兀=4,???B點坐標為(4.0).???BC=V32+42=5.???ZCDB=ZDCB.???BD=BC=5,???OD=BD~OB=5~4=1.￡＞點坐標為(—1,0),???Q為AB中點，如圖1,連結(jié)DN,貝ljDN=DM,ZNDO/MDC,???ZNDC=ZDCB,???DN//BC.???D是AB中點，???QN是ZVIBC的中位線.e15又DN

4、=DM=-BC=—，2253???OM=DM~OD=--1=-,223???點M坐標為(一，0).2說明本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、三角形中位線等知識點.在⑵中設(shè)出P點坐標，表示出PQ的長并將Shfq看做S梯形“OC與S"°c的差是解題的關(guān)鍵，同時注意函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.在⑶中推算iT,DM=DN=-BC是解題的關(guān)鍵.2本題考查知識點較多，綜合性質(zhì)很強.在解題時，先利用待定系數(shù)法，把4、C、G三點坐標代入可求得拋物線解析式；第(2)問可先求得直

5、線AC的解析式，設(shè)P(x,0),再用含兀的式子表示PQ,將看做S悌形“°C與的差，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得S的最大值.第(3)問由條件可求得BD=BC=5=丄初，可求得點D為4B的中點及坐標，有2ZDCB=ZCDB和CD是MN的垂直平分線，可證明DN//BC,得出DN為△ABC的中位線,所以DM=DN==BC,從而得點M的坐標.2下面，我們改變題冃的條件或結(jié)論，進行相應(yīng)的變式訓(xùn)練，從不同的角度去把握此類題目的解決辦法.學生在解答過程屮去體會理解解題思路、方法Z間的聯(lián)系與規(guī)律，從而培養(yǎng)聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、推理、歸納、探索的思維能力.變式一在(

6、2)的條件下，直線PQ交拋物線于點C,線段GQ是否存在最大值，若存在，請求出來；若不存在，請說明理由.解析設(shè)出P點坐標，表示出GQ的長.—)2+—，根據(jù)二次函數(shù)的性586445質(zhì)，得出線段GQ的最大值為初.變式二在⑵的條件下，直線PQ交拋物線于點G,是否存在點P,使AAPG與厶人。?相似,若存在，請求出來；若不存在，請說明理由.解析參照圖1,設(shè)點P(d,0),則點G(a,~-a2一丄67+3).84若△人卩6與厶AOC相似，IZAPG=ZAOC=^°.?PGAO??一—,APOC2?15??O］二0,二——，4亠PGOC1或==—。A

7、PAO2△v0,方程無解.綜上所述，當點P為(0,0),(―,0)時，ZXAPG與厶AOC相似.4變式三在⑶的條件下，在拋物線上是否存在點使與全等，若存在，請求岀來；若不存在，請說明理由.解析圖2中，可知ZADC為鈍角.若AAADC與/DHB全等,通過畫圖發(fā)現(xiàn)，當Z為鈍角時，點H在兀軸上方的拋物線上；當ZDBH為鈍角時，點H在x軸下方的拋物線上；ZBHD為鈍角時，不符合題意.當厶ADC^/XBDH吋，過點H作HK丄兀軸，交點為K???ZADOZBDH,:.ZODC=ZKDH.IDC=DH.ZAOD=ZHBK=90°,???