（浙江專用）高考數(shù)學(xué)板塊命題點(diǎn)專練（九）數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法（含解析）

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1、板塊命題點(diǎn)專練（九）數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法命題點(diǎn)一　數(shù)列的概念及表示1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________.解析：∵Sn＝2an＋1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1.當(dāng)n＝1時(shí)，由a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1為－1，公比q為2的等比數(shù)列，∴Sn＝＝＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.答案：－632．(2014·全國(guó)卷Ⅱ)數(shù)列{an}滿足an＋

2、1＝，a8＝2，則a1＝________.解析：將a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；再將a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再將a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出數(shù)列{an}是一個(gè)周期數(shù)列，且周期為3，所以a1＝a7＝.答案：命題點(diǎn)二　等差數(shù)列與等比數(shù)列1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝(　　)A．－12B．－10C．10D．12解析：選B　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d

3、)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.將a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(　　)A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞解析：選B　每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列，記為{an}，則前7項(xiàng)的和S7＝381，公比q＝2

4、，依題意，得S7＝＝381，解得a1＝3.3．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項(xiàng)的和為(　　)A．－24B．－3C．3D．8解析：選A　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6＝a，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2.又a1＝1，所以d2＋2d＝0.又d≠0，則d＝－2，所以{an}前6項(xiàng)的和S6＝6×1＋×(－2)＝－24.4．(2018·北京高考)設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1＝3，a

5、2＋a5＝36，則{an}的通項(xiàng)公式為________．解析：法一：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.∵a2＋a5＝36，∴(a1＋d)＋(a1＋4d)＝2a1＋5d＝36.∵a1＝3，∴d＝6，∴an＝6n－3.法二：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，∵a2＋a5＝a1＋a6＝36，a1＝3，∴a6＝33，∴d＝＝6，∴an＝6n－3.答案：an＝6n－35．(2016·浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________.解析：∵an＋

6、1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，∴數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，∴＝3.又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，∴S5＋＝×34＝×34＝，∴S5＝121.答案：1　1216．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．解：(1)設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1＋3d＝－15.又a1＝－7，所以d＝2.所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－9.(2)由(

7、1)得Sn＝＝n2－8n＝(n－4)2－16，所以當(dāng)n＝4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為－16.7．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sm＝63，求m.解：(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝.由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解．若an＝2

8、n－1，則Sn＝＝2n－1.由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.綜上，m＝6.8．(2018·浙江高考)已知等比數(shù)列{an}的公比q＞1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中項(xiàng)．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1＝1，數(shù)列{(bn＋1－bn)an}的前n項(xiàng)和為2n2＋n.(1)求q的值；(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．解：(1)由a4＋2是a3，a5的等差中項(xiàng)，得a3＋a5＝2a4＋4，所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4