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1、第七節(jié) 立體幾何中的向量方法1．直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：直線l上的非零向量a或與a_______的向量叫做直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．共線2．利用空間向量求空間角(1)求兩條異面直線所成的角設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則
2、cos〈a，n〉
3、②設(shè)n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)的大小就是________________________(如圖7－7－1②③)．
4、二面角的平面角的大小1．直線的方向向量和平面的法向量是唯一的嗎？2．怎樣求平面的法向量？【提示】不是唯一的．都有無窮多個．1．(教材改編題)設(shè)u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分別是平面α，β的法向量．若α⊥β，則t＝()A．3B．4C．5D．6【解析】∵α⊥β，則u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.【答案】C2．已知平面α內(nèi)有一點M(1，－1,2)，平面α的一個法向量為n＝(6，－3,6)，則下列點P中，在平面α內(nèi)的是()A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3，－3
5、,4)【答案】A3．(2012·濰坊模擬)已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°【答案】C【答案】－8如圖7－7－2所示，在四棱錐P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角．(1)求證：CM∥平面PAD；(2)求證：平面PAB⊥平面PAD.利用空間向量判定平行或垂直【思路點撥】根據(jù)PC，BC，CD兩兩垂直
6、建系→由PB與平面ABCD所成角求BC→分別確定D，B，A，P，M坐標→求出相應(yīng)向量→用向量法證明1．(1)恰當建立坐標系，準確表示各點與相關(guān)向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵．(2)解答本題的關(guān)鍵是由PB與平面ABCD所成角求出BC，從而確定相應(yīng)點的坐標．2．利用空間向量證明平行、垂直問題的優(yōu)勢在于將復(fù)雜的推理證明，輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運算，降低了空間想象、演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想．如圖7－7－3，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB
7、＝AA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點．求證：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.(2011·北京高考)如圖7－7－4，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值；(3)當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長．【思路點撥】(1)根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)定理易證BD⊥平面PAC；(2)由題設(shè)條件，以BD與AC的交點為坐標原點建立坐標系；第(3)問根據(jù)法向量垂直，求出點P的坐
8、標，進而求
9、PA
10、.利用空間向量求線線角和線面角利用空間向量求二面角如圖7－7－7所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點．(1)求證：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A—A1D—B的余弦值．圖7－7－7直三棱柱A1B1C1—ABC及三視圖如圖7－7－8所示，D、E分別為棱CC1和B1C1的中點．圖7－7－8(1)求二面角B—A1D—A的余弦值；(2)在AC上是否存在一點F，使EF⊥平面A1BD？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由．利用空間向量解決開放性問題【思路點撥】(1)以點C為坐標原點建
11、立空間直角坐標系，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)，求各點及相關(guān)向量的坐標；(2)設(shè)出點F的坐標，由垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解．如圖7－7－9所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點．(1)求直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論．圖7－7－9從近兩年高考試題看，利用空間向量求空間角是每年高考必考內(nèi)容，重點考查向量方法的應(yīng)用，而且從命題趨勢看，創(chuàng)新和開放題也是命題的方向，已知空間角，探究點是否存在或者確定點的位置，進而解決問題，這類問題應(yīng)引起
12、足夠重視．1．如圖7－7－11所示，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F(xiàn)分別是PC，CD的中點．(1)證明：CD⊥平面BEF；(2)設(shè)PA＝k·AB，且二面角E—BD－C為60°，求k的值．課時知能訓(xùn)練
