例談橢圓中最值問題的求解策略

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1、例談橢圓中最值問題的求解策略華安一中宋秋生有關(guān)圓錐曲線的最值問題，在近兒年的高考試卷中頻頻出現(xiàn)，在各種題型中均有考查，其中以解答題為重，在平時(shí)的高考復(fù)習(xí)需有所重視。圓錐曲線最值問題具有綜合性強(qiáng)、涉及知識而廣而II常含有變量的一類難題，也是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。要解決這類問題往往利川函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，將它轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，以及利用函數(shù)單調(diào)性、各種平面幾何中最值的思想來解決。本文通過具體例子，對橢圜中的常見最值問題進(jìn)行分類求解。第一類：求離心率的最值問題利用橢圓定義合理轉(zhuǎn)化2h例1：定長為dd——的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在橢圓Vax2v2r+

2、F=1⑺〉b〉0)上移動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線Ia~b~的最短距離。解：設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)，如圖作A4'丄/于A，,BB'丄Z于B',MM±I于M',則MMf1=+BB'2AF+AB2e當(dāng)且僅當(dāng)AB過焦點(diǎn)F吋等號成立。故M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離為￡。點(diǎn)評：絲是橢圓的通徑長，是橢圓焦點(diǎn)弦長的最小值，dn匹是AB過焦點(diǎn)的充要條件。aa通過定義轉(zhuǎn)化避免各種煩瑣的運(yùn)算過程。"：建立Q,b,C的不等式利用均值不等式求最值例2：若為橢I員【二+「=l(a>b>0)的長軸兩端點(diǎn)，Q為橢惻上一點(diǎn)，使ZA(2B=120(),a~b求此橢圓離心率的最小值。分析：建立a,b,cZ間的關(guān)系是解決離心

3、率最值問題常規(guī)思路。此題也就要將角轉(zhuǎn)化為邊的思想，但條件乂不是與焦點(diǎn)有關(guān)，很難使用橢圓的定義。故考慮使用到角公式轉(zhuǎn)化為朋標(biāo)形式運(yùn)用橢圓中兀,y的取值進(jìn)行求解離心率的最值。解：不妨設(shè)A(a,0),Q(x,y),則kAQ=—-—,k8Q=——,xax—Cl利用到角公式及ZAQB=120°得:x+ax-a=tanl20°(兀工土a),1+x+ax-a20202乂點(diǎn)力在橢惻上，故x2-a2=-^y消去x,化簡得y二孚—乂y￡b即學(xué)a/3c「則4aa2-c2)<3c從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于幺的高次不等式3”+4/—4n0解得*65av1。故橢圓離心率的授小值為~~~°(或2cib

4、3(^2—/?2)?得0<—5——,rhe二J1-(-)2,3a3Vci故普W注：本題若是選擇或填空可利用數(shù)形結(jié)合求最值）點(diǎn)評：對于此類最值問題關(guān)鍵是如何建立a.b.c之間的關(guān)系。常用橢圓上的A（X,y）表示成a,b,c,并利用橢圓中x,y的取值來求解范圍問題或用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解。例3：已知p為橢圓=l(a>/?>0)上的點(diǎn),百,耳為橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，求PF、?P"的最大值和最小值。解:PF】?PF2<上式當(dāng)且僅當(dāng)PF}=PF2f即P位于短軸端點(diǎn)吋取號。???（"]■PF?）=a2o1L7max兩邊平方,得Qpf』+

5、pf2

6、）2—4

7、pfJ?

8、pf2

9、s

10、F

11、F2『,

12、即4/_4『耳卜『再54（72。:.PF^PF2>a2-c2=b上式當(dāng)且僅當(dāng)P位于長軸端點(diǎn)吋取號。故幘卜『礎(chǔ)"貯幾二：利用三角函數(shù)的有界性求范例4：已知橢惻C：二+M=1（0〉方〉（））兩個(gè)焦點(diǎn)為許,尸2，如果曲線C上存在一點(diǎn)Q，使F]Q丄F2Q,crb"求橢I員「離心率的最小值。分析：根據(jù)條件可采用多種方法求解，如例2中所提的方法均可。本題如借用三角函數(shù)的有界性求解，也會(huì)有不錯(cuò)的效果。解：根據(jù)三角形的止弦定理及合分比定理可得：]V2sin（6Z+45°）擔(dān),近故橢圓離心率的最小值為2。2cPF、PF2PF'+PFq2asin90°sinasin/3sin&+cos/3sin

13、cr+cosa點(diǎn)評：對于此法求最值問題關(guān)鍵是掌握邊角的關(guān)系，并利用三角函數(shù)的有界性解題，真是柳暗花明又一村。第二類：求點(diǎn)點(diǎn)（點(diǎn)線）的最值問題三：建立二次函數(shù)并求二次函數(shù)的最值（下面第三類、第四類最值也常用此法）x2y2例5：（05年上海）點(diǎn)A、B分別是橢圓—+^-=1K軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)3620P在橢圓上，冃位于x軸上方，PA丄PF°（1）求點(diǎn)P的處標(biāo)；（2）設(shè)M是橢圓長軸AB±的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于IMBI,求橢I員1上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值。分析：解決兩點(diǎn)距離的最值問題是給它們建立一種函數(shù)關(guān)系，因此本題兩點(diǎn)距離可轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解。解

14、（1）略（2）直線AP的方程是x-y/3y+6=0。設(shè)點(diǎn)M（m,0）,則M到直線AP的距離是2m+6于是2=m+6

15、，乂一6三加W6,解得m=2。設(shè)橢I員【上的點(diǎn)（,y）到點(diǎn)M的距離d=（x-2）2+/=x-4x2+4+20--x2=-（x--）2+15,992由于一6S加<6,???當(dāng)x=-時(shí),d収得最小值V152點(diǎn)評：對于此類最值問題關(guān)鍵是如何將點(diǎn)點(diǎn)之間的最值問題轉(zhuǎn)化成我們常見函數(shù)一一二次函數(shù)的最值問題求解。第三類：求角的最值問題例6：（05年浙江）