專升本輔導(dǎo)-第6講定積分及其應(yīng)用

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1、一、復(fù)習(xí)要求（1）理解定積分的概念與幾何意義．（2）掌握定積分的基本性質(zhì)．（3）理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法．（4）掌握牛頓—萊布尼茨公式．（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法．（6）理解無(wú)窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法．（7）掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體體積．（8）會(huì)用定積分求沿直線運(yùn)動(dòng)時(shí)變力所作的功．第6講定積分及其應(yīng)用b．由曲線及直線所圍成二、內(nèi)容提要1．定積分概念（1）曲邊梯形的概念：在直角坐標(biāo)系中，由曲線，直線及的平面圖形有以下兩類(lèi)，它可以看做是由兩個(gè)曲邊梯形所夾．軸所圍成的圖形

2、，叫做曲邊梯形．常見(jiàn)及直線a．由曲線所圍成（2）定積分的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上有定義，用點(diǎn)將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間其長(zhǎng)度為，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，則乘積稱為積分元素，其總和稱為積分和．記為即為積分區(qū)間，其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量，稱為積分下限，為積分上限．在區(qū)間的取法無(wú)關(guān)，則稱函數(shù)中最大者如果當(dāng)無(wú)限增大，而時(shí)，總和的極限存在，且此極限與的分法以及并將此極限值稱為函數(shù)在區(qū)間上是可積的，上的定積分，（3）定積分上下限互換時(shí)，定積分變號(hào)而絕對(duì)值不變，當(dāng)時(shí)，說(shuō)明：（1）定積分作為一個(gè)和式的極限，是個(gè)數(shù)值，它的大小僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)．（2

3、）被積函數(shù)在積分區(qū)間必要條件，被積函數(shù)上有界，是可積的在積分區(qū)間上連續(xù)是可積的充分條件．初等函數(shù)在其定義區(qū)間上一定可積．即（1）代數(shù)和的積分的等于積分的代數(shù)和，即為常數(shù)）（（2）常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前面，即2．定積分的基本性質(zhì)之間時(shí)，等式仍然成立．不介于當(dāng)（3）如果積分區(qū)間被點(diǎn)分成兩個(gè)小區(qū)間與，則（4）若在積分區(qū)間上總有，則（5）若函數(shù)在積分區(qū)間上有最大值和最小值，則有，使有內(nèi)至少存在一點(diǎn)（6）若函數(shù)在上連續(xù)則在區(qū)間的值，即它對(duì)變上限的導(dǎo)數(shù)，等于被積函數(shù)在上限3．牛頓—萊布尼茲公式（2）原函數(shù)存在定理：若在上連續(xù)，則是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)．是變上限（1）變上限定積分的函數(shù)，（3）

4、牛頓—萊布尼茲公式：在上連續(xù)，且是的一個(gè)原函數(shù)，則若函數(shù)4．定積分的換元積分法和分部積分法上連續(xù)，令，如果b．當(dāng)從變到時(shí)，從單調(diào)地變到，則有在區(qū)間（1）定積分的換元積分公式：設(shè)函數(shù)在區(qū)間或上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)a．（2）奇（偶）函數(shù)在對(duì)稱積分區(qū)間上的定積分計(jì)算法則：b．若是奇函數(shù)，則是偶函數(shù)，則a．若（3）定積分的分部積分公式：設(shè)函數(shù)和在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則或記為積分區(qū)間為無(wú)限的廣義積分：設(shè)函數(shù)在區(qū)間則定義為在上的廣義積分．此時(shí)，稱廣義積分存在或收斂，否則稱廣義積分發(fā)散或不存在．5．廣義積分上連續(xù)，如果極限存在，同樣，可定義：其中有時(shí)為了書(shū)寫(xiě)方便，可省去極限符號(hào)，如可簡(jiǎn)寫(xiě)成根據(jù)定義可知：當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)

5、時(shí)發(fā)散．（1）平面圖形的面積．設(shè)函數(shù)和在上連續(xù)，且，則由曲線平面圖形的面積為6．定積分的應(yīng)用和直線所圍成的函數(shù)和在上連續(xù)，且，則由曲線和直線所圍成的平面圖形的面積為（2）旋轉(zhuǎn)體的體積．設(shè)一立體是以連續(xù)曲線，直線的旋轉(zhuǎn)體，則其體積為軸所圍與由連續(xù)曲線，直線成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為及軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成三、例題及說(shuō)明（2）或解（1）和軸所圍成的區(qū)域的面積S．（2）求由曲線例1（1）求1．基本概念例2求（1）（2）（3）（4）（5）解（1）（2）（3）（4）（5）2．定積分的分部積分法或例1求（1）（2）（3）定積分的分部積分公式為解（1）（2）（3）3．定積分的

6、換元法例1（1）（2）（3）解（1）設(shè)，則且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)（2）設(shè)，則且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)（由單值性也可取則原式時(shí)，當(dāng)時(shí)）當(dāng)（3）設(shè)，則且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)例2證明對(duì)，有證設(shè)，則且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)等式左邊4．分段函數(shù)的積分，求（2）求（3）求例1（1）解（1）（2）（3）例1求（1）（2）解（1）原式第二個(gè)被積函數(shù)是偶函數(shù)，第三個(gè)被積函數(shù)是奇函數(shù)．（2）原式前者被積函數(shù)是偶函數(shù)，后者被積函數(shù)是奇函數(shù)，5．奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分原式原式例1求設(shè)（1）（2）（3）解（1）（2）（3）6．變上限積分及其對(duì)上限的導(dǎo)數(shù)又上單調(diào)增加，所以方程在即例2設(shè)連續(xù)，證明方程上有且只有一個(gè)根．在證在上有且只有一個(gè)根．例1求（1

7、）（2）（3）解（1），發(fā)散．（3），收斂．7．廣義積分（2），收斂．解當(dāng)時(shí)，，發(fā)散；，發(fā)散；，收斂．例2討論的收斂性．時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)例1求由所圍區(qū)域的面積．積分，則必須分成上、下兩塊面積之和：或?qū)?．平面圖形所圍區(qū)域的面積積分，則或?qū)馐紫扔陕?lián)立方程，求得兩曲線交點(diǎn)坐標(biāo)為積分，則必須分成左右兩塊之和．．對(duì)例2求由曲線和直線所圍區(qū)域的面積．解（1）取上半支拋物線（2）9．旋轉(zhuǎn)體的體積例1求由曲線和所圍區(qū)域（1）繞軸旋轉(zhuǎn)的體積；（2）繞軸旋轉(zhuǎn)的體