淺談求函數(shù)最值問(wèn)題的方法

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1、淺談求函數(shù)最值問(wèn)題的方法顏遠(yuǎn)雪摘要：木文介紹了八種求函數(shù)最值問(wèn)題的方法,并結(jié)合高考試題及數(shù)學(xué)競(jìng)賽題來(lái)進(jìn)行分析研究。關(guān)鍵詞：最大值；最小值；方法0.引言最值問(wèn)題是一類(lèi)特殊的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它在生產(chǎn)、科學(xué)研究和日常生活小有著廣泛的應(yīng)用，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也占有比較重要的位置，是歷年高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)Z—，也是近幾年數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的常見(jiàn)題型。在高考中，它經(jīng)常與三角函數(shù)、二次函數(shù)、一元二次方程、不等式及某些幾何知識(shí)緊密聯(lián)系，并以一些基礎(chǔ)題，小綜合的中檔題或一些難題的形式出現(xiàn)。由于其解法靈活，綜合性強(qiáng)，能力要求高，故而解決這類(lèi)問(wèn)題，

2、要掌握各數(shù)學(xué)分支知識(shí)，能綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)技能,靈活選擇合理的解題方法。本文現(xiàn)擬對(duì)求函數(shù)最值問(wèn)題的方法作一個(gè)綜述，以便丁?廣大師生系統(tǒng)掌握求函數(shù)最值的初等求解方法。其中，木文大致按八個(gè)方血分類(lèi)選談求函數(shù)最值問(wèn)題的方法，它們分別是：判別式法、函數(shù)的單調(diào)性法、均值不等式法、換元法、幾何法、構(gòu)造方差法、復(fù)數(shù)法和導(dǎo)數(shù)法。1?判別式法若函數(shù)y=/(x)可化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程：Q(刃F+b(y)兀+c(y)=0。在a(y)H0時(shí)，由于為實(shí)數(shù)，則有A=b2(y)-4a(y)c(y)>0,由此口J以求出y所在的范圍，確

3、定函數(shù)的最值。例1.1(1987,江蘇省初屮數(shù)學(xué)競(jìng)賽)已知+其屮是實(shí)數(shù)，則p+q的最大值為解:設(shè)$=〃+q,由/尹+亍=2得，(p+q)(/異+/—/%)=2(p+q)l(p+q『—3“n=2(p+q)'_3pq(p+q)=21719/.pq=-(s2——)化是方程兀$_$兀+_($2——)=0的兩個(gè)實(shí)根.3s3$.4o2???△=$——($「——)>03s整理化簡(jiǎn)，得?<8,故$S2.即p+q的最大值為2例1.2（1993,全國(guó)高屮數(shù)學(xué)聯(lián)賽）實(shí)數(shù)圮），滿足4x2-5xy+4/=5,設(shè)S=/+y2,則丄*丄的值為。C

4、C?maxmin44解：由題意知，xy=-s-f故5)2=(—5-1)2乂X2+y2=s:.F,)/是方程t2-st+(—s-l)2=0的兩個(gè)實(shí)根.a。//A39232???△=$-一4(一$—1)?=5+一5-4>05255解得—

5、上是單調(diào)的，再求出各個(gè)小區(qū)間上的最值，從而可以得到整個(gè)區(qū)間上的最值。解：先求定義域，質(zhì)二豐。例2.1求函數(shù)f（x）=JSx-x2-yJ14x-x2-48的最小值和最大值。得6

6、）二（『2-4）+（）=（（2-GO）

7、‘2‘1“2117/maxW=./（-）=y41.?.“)=『+_在-,1上是減函數(shù)，因此九⑴=/(1)=5tL2~~n兒ax3.均值不等式法均值不等式：設(shè)即如…，色是斤個(gè)正數(shù)，則有55+…72^^，其中等號(hào)成立的條件是ax-a2-...=ano運(yùn)用均值不等式求最值，必須具備三個(gè)必要條件，即一正二定三等，缺一不可?！罢笔侵父黜?xiàng)均為止數(shù)，這是前提條件；“定”是指各項(xiàng)的和或積為定值;“等”是等號(hào)成立的條件。例3.1(1990,全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)設(shè)為自然數(shù)，d"為實(shí)數(shù)，11滿足。心，則越需的最小值是???anhn<1解：

8、???訛〉0.由均值不等式得，ab<(^)2=12幷11l+//'+l+M1+/「+1+/l+d"1+b"（l+d”）（l+Z/‘）l+b"+N7/'+d”當(dāng)口僅當(dāng)a=b=時(shí),上式取等號(hào)?故丄+丄的最小值是11+d”+hn例3.2（1997,全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）設(shè)a=lgz+lg[x（w）"+l],b=gx~l+lgOyz+l),c=lg_y+lg[(xyz)J+1],記a,b,c屮最大數(shù)為M,則M的最小值為o解:由已知條件得a=lg(xy_1+z),b=lg(yz+x~l),c=lg[(xz)_I+y]設(shè)兀+z

9、,yz+x_1,(xz)_1+y中的最小數(shù)為A,則M=IgA由已知條件知，x,.y,zw/T,于是A2>(xy_1+z)f(xz)-1+y]=[(37)"1+yz]+0+兀宀)n2+2=4所以，心2,且當(dāng)x=y=z=l時(shí)，A=2,故A的最小值為2,從而M的最小值為lg2注:在用均值不等式求函數(shù)的最值吋，往往需要配合一定的變形技巧,才可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)