斜率單變點分析

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1、m-—aim—O1B-■111?1■11-f-a地質(zhì)災(zāi)害調(diào)查與幽測技爪方法論、乂集斜率單變點分析王建鋒（中國科學(xué)院力學(xué)研究所，北京，100080）【摘要】在自然界、社會、經(jīng)濟等領(lǐng)域內(nèi)，突變現(xiàn)象很常見。若系統(tǒng)的倦岀序列在某未知時刻起了突然變化，則該時刻即稱為變點。變點統(tǒng)計分析的目的是判斷變點的存在，確定其位置和個數(shù)等。已有的變點分析包括均質(zhì)變點分析、既率變點分析和模型參數(shù)變點分析等。本文提岀斜率變點的新概念，它是指曲線斜率加（減）速變化最大的點。本文還結(jié)合幾個不同類型的實例，提出了尋求單一斜率變點的回歸系

2、數(shù)二階差分方法。它可對單調(diào)性和凹凸性均單一的曲線求其“轉(zhuǎn)折點”。實例表明，該法具有簡單、直觀、有效等優(yōu)點?！娟P(guān)簽詞】變點分析斜率變點回歸系數(shù)1前言在自然界、社會、經(jīng)濟等領(lǐng)域內(nèi)，突變現(xiàn)象很常見，且很重要。研究突變是否發(fā)生，何時發(fā)生等問題，有助于拿握事件或過程的演化規(guī)律，尤其是災(zāi)害發(fā)生發(fā)展規(guī)律，從而為災(zāi)害的預(yù)報、預(yù)防和治理提供依據(jù)。系統(tǒng)的輸岀序列在某未知時刻起了突然變化，該時刻即稱為變點。變點統(tǒng)計分析的目的是判斷和檢驗變點的存在、位置、個數(shù)，并估計出變點的躍度。變點統(tǒng)計分析對定疑分析各種監(jiān)測數(shù)據(jù)，研究各種地

3、質(zhì)災(zāi)害的規(guī)律等，都是個強有力的工具。變點分析又分為均值變點分析、概率變點分析以及模型參數(shù)變點分析等⑴。某一時刻前、后數(shù)據(jù)的均值（或概率分布，或某模型參數(shù)）發(fā)生了顯著改變，則該時刻就稱為均值（或概率,或某模型參數(shù)）變點。但地質(zhì)問題中還常遇到一條曲線逐漸上升，在某時刻以后突然加速上升;有時遇到一條曲線開始加速下降，到某點以后突然滅緩速度下降而逐漸趨于平緩。還有的曲線開始緩速下降，到某點后突然轉(zhuǎn)為快速沿斜線下降。由于這一突然轉(zhuǎn)變的“轉(zhuǎn)折點”是一類厳要的特征點，往往與特定問題的特定物理盤義相聯(lián)系，因此準(zhǔn)確地確定

4、該變點是重要的。此類“轉(zhuǎn)折點”，本文稱其為曲線的斜率變點，簡稱斜率變點。本文擬結(jié)合巖土體表面蠕變曲線如何尋找第二階段和第三階段分界點的問題，求土體特性指標(biāo)的相關(guān)距離5（或&）中如何尋找方差折滅函數(shù)的突然趨緩的“轉(zhuǎn)折點”問題，以及根據(jù)e?IgP曲線求前期固結(jié)壓力Pc的問題，來進行斜率變點分析論述。2尋找單一斜率變點的基本原理先研究最簡單的斜率變點問題。假定已知一條曲線中有且只有一個斜率變點，問題是如何找到一種方法可簡單、定址、準(zhǔn)確地確定此變點。一般的，大多數(shù)的測量數(shù)據(jù)都呈離散的數(shù)據(jù)點對，并且當(dāng)測駅時間間隔

5、絞長時，不易形成能真實反映過程變化的連續(xù)曲線。因此，多數(shù)觀測序列不易用曲線方程表達，因而就無法用微積分求導(dǎo)數(shù)的方法求岀各點處的斜率，只能用求某點兩側(cè)一些相繼數(shù)據(jù)點的線性回歸系數(shù)的方法近似地求出某肘刻點（或距離點）兩側(cè)較短時間間隔（或距離）內(nèi)曲線的斜率。這是因為在較矩的時間間隔（或距離）內(nèi)，曲線是近似直線的。某點兩側(cè)曲線斜率之差可反映該點芮側(cè)斜率變化的幅度，這可說是用到了一階差分。但這里擬找的“轉(zhuǎn)折點”并不是斜率變化鼠大的點,而是斜率局部加（減）速變化最大的點。在監(jiān)測時間是等時間間隔（或等間距）的條件下，

6、斜率變化幅度的二階差分就反映了斜率變化的加（減）速度。通過尋找斜率變化的加（減）速度局部極大值的方法，就可找出斜率變點所落在的單位區(qū)間。然后，再用類似于求分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的方法，便可定就地求出斜率變點的估計值了。3尋找單一斜率變點的方法和步驟以下結(jié)合3個不同類型的實例，介紹尋找單一斜率變點的方法和步驟。itb質(zhì)災(zāi)宙調(diào)査、監(jiān)測理論600400200Z23.392522262728日期〃d例1.日本Tohoku鐵道線上Asamushi滑坡的累計位移監(jiān)測數(shù)據(jù)⑵如表1所示（數(shù)據(jù)由圖1啟出）。表1日本Tohoku鐵路

7、線Asamushi滑坡累計位移時間"天累計位移D時間"天累卄位移D1966.7mm1966.7mm21.0024.5184.5721.522.2925.0240.0022.045.7125.5302.8622.568.0026.0361.1423.091.4326.5422.8623.5114.2927.0577.1424.0144.008()0圖1日本Tohoku鐵路線Asamushi滑坡時間一累計位移曲線變點分析結(jié)果這是由滑坡表面測得的位移一時間曲線，它明顯包含了第二、第三蜻變階段的數(shù)據(jù)。第二階段的

8、曲線段近似直線，反映岀等速蠕變特征；但第三階段則是加速蠕變階段，其曲線明顯加速上揚（圖1）。這就是說，在這個例子中，已知包含且只包含一個斜率變點，只要能找到斜率局部加速變化最大的點，那么就意味著找到了這個斜率變點了。以下分步介紹尋找這個變點的回歸系數(shù)二階差分法。（1）取定探索點：由于監(jiān)測數(shù)據(jù)是竽時間間隔的，為此選取兩個相鄰觀測時間點的中點為探索點，構(gòu)成探索點序列。如例1中的探索點序列為"=21.25,21.75,22.25,22.75,23