《講剩余類環(huán)》PPT課件

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1、數(shù)學(xué)是打開(kāi)科學(xué)大門的鑰匙;數(shù)學(xué)是科學(xué)的語(yǔ)言;數(shù)學(xué)是思維的工具;數(shù)學(xué)是理性的藝術(shù);數(shù)學(xué)是一種理性精神.第15講剩余類環(huán)Zn問(wèn)題：下面,我們利用整數(shù)環(huán)模極大理想來(lái)回答上述問(wèn)題.問(wèn):對(duì)任一素?cái)?shù)p,?2.4剩余類環(huán)Zn有限域的特征是一個(gè)素?cái)?shù).給出了非常有用的2元域F2.如果有,怎么構(gòu)造?有特征為p的有限域嗎??2.4剩余類環(huán)ZnnZ={nk:k∈Z}?Z.商環(huán)Z/nZ={[0],[1],[2],…,[n?1]}其中[k]=k+nZ.每個(gè)理想都是主理想的環(huán)稱為主理想環(huán).啟示:N的極小生成集只能有一個(gè)數(shù).?2.4剩余類環(huán)Zn即N是主理想,其生成元必然是a=qd,b=hd,q,h∈Z.設(shè)N是Z

2、的非零理想,考察N的生成集.(一)Z的理想?a,b∈N,聯(lián)系a和b的是它們的最大公因數(shù)d=ua+vb,u,v∈Z.而a和b可由d生成:由理想的吸收性得d∈N,Ｎ中絕對(duì)值最小的數(shù),設(shè)為n,則N=(n)=nZ={qn:q∈Z}結(jié)論定理1整數(shù)環(huán)是主理想環(huán)?2.4剩余類環(huán)Zn命題1分析a=qn+r,0?r

3、2三Z的極大理想若有(n)?(m)?Z,則m

4、n,充分性設(shè)n是素?cái)?shù),?m=1,-1,n或-n,?(m)=Z或(n),所以,(n)是極大理想.必要性設(shè)(n)是極大理想.?m

5、n,則(n)?(m)?Z,?m=1,-1,或n,-n,?(m)=Z或(n),Zn=Z(n)是域?推論n是素?cái)?shù).?2.4剩余類環(huán)Zn由于前面的推理告知了如何構(gòu)造素?cái)?shù)個(gè)元的有限域.第三章將介紹如何構(gòu)造pk(p素?cái)?shù))個(gè)元的有限域.例1證明x3+13x+121在Z[x]中不可約.證明對(duì)系數(shù)取模2得x3+x+1,作為域Z2上的多項(xiàng)式,在Z2={[0],[1]}中沒(méi)有根,因而在Z2[x]中不可約.所以,在Z[x]中不可約.

6、命題2設(shè)p是素?cái)?shù),從Z[x]到Zp[x]有環(huán)同態(tài)證明是Z到Zp的自然同態(tài),直接驗(yàn)證即得.根據(jù)命題2,f(x)在Z[x]中可約,則?(f(x))在Zp[x]中必然可約.下面看一看Zp的妙用.根據(jù)是證明命題[k]∈Zn關(guān)于乘法可逆當(dāng)且僅當(dāng)k與n互素.(k,n)=1定義環(huán)R中的元素a稱為可逆的,如果有b∈R使得ab=ba=1.?有s,t∈Z使得sk+tn=1?[s][k]=[sk]=[1]?[k]可逆?2.4剩余類環(huán)Zn設(shè)n=是n的素因子分解,則.推論Zn中所有可逆元組成乘法群.它的階是設(shè)[a],[b]∈Zn,若[a]=[b],則稱a與b模n同余,記為?2.4剩余類環(huán)Zn1,2,…,n

7、中所有與n互素的元的個(gè)數(shù)?(n),稱為歐拉函數(shù).a≡b(modn).推論設(shè)p是素?cái)?shù),且p?a,則ap?1≡1(modp).歐拉-費(fèi)爾馬定理若(a,n)=1,則a?(n),≡1(modn).?[0]?,?[1]?=Z15,?[5]?={[0],[5],[10]}=?[10]?,?[3]?={[0],[3],[6],[9],[12]}=?[6]?=?[9]?=?[12]?.(3)全部全部子加群；{[0],[1],…,[14]}(5)全部理想；寫(xiě)出剩余類加群Z15的(2)全部生成元;例1(8)Z15是域嗎？說(shuō)明理由。(6)全部可逆元；(4)每個(gè)元素的負(fù)元；(1)全部元素；(7)全部零因

8、子；{[1],[2],[4],[7],[8],[11],[13],[14]}?[1]=[14],?[2]=[13],?[3]=[12],?[4]=[11],?[5]=[10],?[6]=[9],?[7]=[8].([0]),([1])=Z15,([5])={[0],[5],[10]}=([10]),([3])={[0],[3],[6],[9],[12]}=([6])=([9])=([12]).(5)全部理想；寫(xiě)出剩余類加群Z15的例1(8)Z15是域嗎？說(shuō)明理由。(6)全部可逆元；(7)全部零因子；{[1],[2],[4],[7],[8],[11],[13],[14]}{[3],

9、[5],[9],[10],[12]}不是。因?yàn)橛辛阋蜃印Ｗ鳂I(yè)：P92,2,3,4.