有限差分法求解電磁場(chǎng)問題

《有限差分法求解電磁場(chǎng)問題》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、計(jì)算物理理論第三章第三章有限差分法求解電磁場(chǎng)問題有限差分法求解電磁場(chǎng)問題求解靜電場(chǎng)邊值問題，當(dāng)場(chǎng)域邊界的幾何形狀比較簡單時(shí)，其解可以用分離變量法求得。但當(dāng)邊界形狀比較復(fù)雜時(shí)，一般只能求出近似解。　　有限差分法的基本思想基本思想是：將求解區(qū)域劃分為網(wǎng)將求解區(qū)域劃分為網(wǎng)格，將求解區(qū)域內(nèi)的連續(xù)分布的場(chǎng)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的離格，將求解區(qū)域內(nèi)的連續(xù)分布的場(chǎng)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的離散場(chǎng)值來代替，將邊界上連續(xù)分布的邊界條件用離散散場(chǎng)值來代替，將邊界上連續(xù)分布的邊界條件用離散的邊界條件值來代替，這樣我們可將被求解區(qū)域中的的邊界條件值來代替，這樣我們可將被求解區(qū)域中的解微分方程的邊值問題用差分方程的迭代求解來代替。解微分方

2、程的邊值問題用差分方程的迭代求解來代替。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)值計(jì)算方法得到隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)值計(jì)算方法得到越來越廣泛的應(yīng)用，并在電磁場(chǎng)計(jì)算方法中占有重越來越廣泛的應(yīng)用，并在電磁場(chǎng)計(jì)算方法中占有重要的地位。要的地位。由于有限差分法是通過對(duì)被求解區(qū)域進(jìn)行分格，實(shí)由于有限差分法是通過對(duì)被求解區(qū)域進(jìn)行分格，實(shí)現(xiàn)了將連續(xù)場(chǎng)的離散化，因此，現(xiàn)了將連續(xù)場(chǎng)的離散化，因此，有限差分法不僅能用有限差分法不僅能用于解靜電場(chǎng)的問題，還能解任意靜態(tài)場(chǎng)和時(shí)變場(chǎng)問題；于解靜電場(chǎng)的問題，還能解任意靜態(tài)場(chǎng)和時(shí)變場(chǎng)問題；不僅能處理線性問題，還能處理非線性問題不僅能處理線性問題，還能處理非線性問題。特別要。特別

3、要注意的是：注意的是：不管被求解區(qū)域的邊界形狀如何復(fù)雜，只不管被求解區(qū)域的邊界形狀如何復(fù)雜，只要把網(wǎng)格分得足夠的細(xì)，都可以得到足夠精確的解要把網(wǎng)格分得足夠的細(xì)，都可以得到足夠精確的解。。圖圖3.13.1二維矩形區(qū)域的正方形網(wǎng)格二維矩形區(qū)域的正方形網(wǎng)格下面介紹下面介紹有限差分法的基本原理有限差分法的基本原理..如圖如圖3.13.1所示，在所示，在一個(gè)邊界為一個(gè)邊界為CC的二維矩形區(qū)域內(nèi)，電位的邊值問題的二維矩形區(qū)域內(nèi)，電位的邊值問題可表示為：可表示為：222?Φ?Φρs?Φ=2+2=?(3.1)(3.1)?x?yε0hΦ

4、=f(x,y)(3.2)(3.2)s即給定二維區(qū)域中的電荷分布和電位在邊

5、界上的即給定二維區(qū)域中的電荷分布和電位在邊界上的值，求區(qū)域中各點(diǎn)的電位。有限差分法的第一步將場(chǎng)值，求區(qū)域中各點(diǎn)的電位。有限差分法的第一步將場(chǎng)域分成足夠多的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格線之間的距離為域分成足夠多的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格線之間的距離為hh，，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)。?，F(xiàn)我們來討論現(xiàn)我們來討論55個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)上電位之間的關(guān)系，即節(jié)個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)上電位之間的關(guān)系，即節(jié)點(diǎn)點(diǎn)00上上Φ0與節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)11、、22、、33、、44上電位上電位Φ1,Φ2,Φ3,Φ4之間的關(guān)系。設(shè)節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系。設(shè)節(jié)點(diǎn)00的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x0,y0），由于），由于網(wǎng)格的邊長網(wǎng)格的邊長h很小，因此在通過節(jié)點(diǎn)很小，因

6、此在通過節(jié)點(diǎn)00且平行于且平行于x軸的直線上的相鄰點(diǎn)軸的直線上的相鄰點(diǎn)x的電位值的電位值Φ(x,y0)，可用，可用二維函數(shù)的泰勒公式在節(jié)點(diǎn)二維函數(shù)的泰勒公式在節(jié)點(diǎn)00展開為：展開為：23??Φ?1??Φ?21??Φ?3Φx=Φ0+??(x?x0)+??2??(x?x0)+??3??(x?x0)??x?02!??x?03!??x?041??Φ?4+??4??(x?x0)+???(3.3)4!??x?0在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)11，，x=x0+h，這一點(diǎn)的電位為，這一點(diǎn)的電位為234??Φ?1??Φ?21??Φ?31??Φ?4Φ1=Φ0+??h+??2??h+??3??h+??4??h+?????x?02!

7、??x?03!??x?04!??x?0(3.4)(3.4)在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)33，，x=x?h，這一點(diǎn)的電位為，這一點(diǎn)的電位為0234??Φ?1??Φ?21??Φ?31??Φ?4Φ3=Φ0???h+??2??h???3??h+??4??h+?????x?02!??x?03!??x?04!??x?0(3.5)(3.5)因此因此24??Φ?22??Φ?4Φ+Φ=2Φ+??h+??h+???130?2?4!?4???x?0??x?0(3.6)(3.6)當(dāng)正方形網(wǎng)格分得足夠多時(shí)，網(wǎng)格的邊長h可以4足夠的小，則式(3.6)中的h以上的項(xiàng)都可以忽略。則式(3.6)可近似為2??Φ?2??h=Φ+Φ?2Φ(3.

8、7)?2?130??x?0同理可寫出2??Φ?2??2??h=Φ2+Φ4?2Φ0(3.8)??y?0將上面兩式相加可得22??Φ?Φ?2?+?h=Φ+Φ+Φ+Φ?4Φ?22?12340(3.9)??x?y?0而在節(jié)點(diǎn)0的泊松方程又可以寫為22??Φ?Φ??ρ??s??+?=?(3.10)?22?????x?y??ε?000將式(3.10)代入式(3.9)可得1??ρ??Φ=Φ+Φ+Φ+Φ+?s?h2(3.11