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1、物理建模論文對彩虹形成原理的探究陜西省寶雞市寶雞中學高一5班楊霄指導老師魏宗博【摘要】本文主要應用光的折射模型與一些數(shù)學計算，定量探究了彩虹的形成原因，解釋了彩虹出現(xiàn)的位置，時間，條件以及生活中的一些特殊現(xiàn)象。【關鍵詞】彩虹折射率彩虹角問題的提出在初中的學習中，老師在物理課上有講到彩虹的形成是由丁陽光在空氣中的小水滴中發(fā)生了色散形成了彩虹，可是這樣模糊的答案不能解釋為什么會是拱形的而且不會和太陽出現(xiàn)在同一側等問題，在使用數(shù)學工具建立模型，進行分析，就可以讓更多的同學更加清楚的理解彩虹形成的原理。模型的假設1.空氣中懸浮的水滴是規(guī)則的球形2
2、.太陽光線是相互平行的3.陽光在水滴中傳播所用的時間忽略不記1.把人眼看作一個點2.太陽在水滴中只發(fā)生了一次反射模型的建立&問題的解決符號規(guī)定太陽光線射入水滴時的入射角/?:太陽光線射入水滴吋的折射角?m:各種色光折射最密集的入射角的大小D(a):太陽光線從射入水滴到射出水滴總偏折角度光線從空氣到水中的折射率n：可見光從空氣射進水中的折射率0:彩虹角通過查閱一些資料了解到，彩虹在形成的過程屮是由于在水滴屮發(fā)生了一次反射兩次折射形成的，由此結合光的折射定律就可以到了右圖。據(jù)此借助數(shù)學幾何知識可得到以下關系：D（a）=（o_0）+（18O?！?/p>
3、20）+（0_0）=180。+2^_40根據(jù)折射定律有siiiasin/3所以可得到c?sinqp二arcsinna.w根據(jù)查閱的一些資料，我了解到了可見光在水中的折射率大約為n=1.33,將紅光的折射率帶入上面的表達式可以得到如下圖像.在這個圖像中我發(fā)現(xiàn)，每一束光線經水滴折射后都會有一個偏折角。我把每該函數(shù)從0開始自變量每隔10。取一個值，對該區(qū)間內D(Q)的變化幅度ADd進行比較，發(fā)現(xiàn)，當Q越接近D(a)的最低點，D(a)的變化幅度越小，也就是說，太陽光線從不同角度射入水滴以后，都集中在了D(a)的最低點附近。aD(a)AD(a)01
4、8010169.99210.00820160.3949.59830151.67&72440144.3967.27450139.3295.06760137.4871.84270140.185-2.69880148.919-8.73490164.986-16.067100188.919-23.933110220.185-31.266因此我嘗試著對D(a)進行求導，有D@)=2-40@)又因為c?sinap-arcsinnf(x)=arcsinx時有廣(x)二cosacosay/n2-sin2a代入上式可得Da)=2-4cosa另D@)=0可
5、得4cos?_nZ—/.—Uy/n2-sin2a又因為sin2cif+cos2a=19n2-1帶入可得cos~G=下一經過化簡對于折射率為n的光線我們就得到了In2-15=arccosJ^—分別把各種色光的折射率帶入上式就可以得到下表namD(a)lL1.32260.0511137.488橙光1.332559.4395137.484黃光1.333159.4047137.484綠光1.334959.3001137.485■1.33959.622137.4841.343558.8014137.479根據(jù)太陽光與人的位置，得到了下而的位置關系D
6、(?)rti上圖，可以得到關系6>=180°-D(a)據(jù)此我算出了o的值如下表色光e42.512橙光42.516黃光42.516綠光42.51542.51642.521由于人眼的位置可以看作是一個點，因此過這個點的所有與太陽的平行光線放到一起就構成了一個圓椎休，如下圖聽苒經1丈人眼且苣太陽平I亍光目尹甬為e旳光銭構成了一個圓誰由于藍光，紫光旳e我小，因此在彩虹旳內側,而紅光旳e較大，因而在彩虹外側由于人眼處在這個圓錐的頂點，而且圓錐的底面是一個圓形，因而彩虹看上去就應該是一個圓圈，并且根據(jù)上表中不同色光對應的0值不同，并且從紅光到紫光隨著
7、波長變短，折射率變大0值一直在減小，這也就解釋了為什么看到的彩虹最外層是紅色的而紫色在最內側。我們平時看到的彩虹祁是拱形的，可到現(xiàn)在為止我們計算出來的彩虹還是一個封閉的圓環(huán)。是不是在考慮問題的時候漏掉了一些什么。想到太陽的東升西落，而根據(jù)我建立的模型，彩虹總是在從人看太陽的另一邊，那么太陽到中午時，彩虹不就跑到了腳底下去了么,這顯然是不可能的，因此很容易想到，隨著陽的升高，彩虹的高度也隨Z下降，而我們所觀察到的彩虹則只露在天空的那一部分，而當其有一部分下降到地平線一下的時候，在天空上也就剩下這個圓環(huán)的一段弧線了，也就是我們所看到的拱形的彩
8、虹。而如果太陽再繼續(xù)向上升起，彩虹繼續(xù)下降的話等到其完全在地面一下的話，我們就一點彩虹也看不到了，這也就能夠解釋為什么彩虹只出現(xiàn)在早晨和傍晚，而在屮午卻看不到彩虹的蹤影。得出結論我們所看到的彩
