李亞飛終稿論文

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1、目錄中文摘要關(guān)鍵詞(II)1、緒論(1)2、預(yù)備知識(shí)(1)2.1二次型的相關(guān)定義(1)2.2二次型的相關(guān)定理(2)3、正定二次型和正定矩陣的判定方法(7)3.1定義法(7)3.2正定二次型和正定矩陣等價(jià)判定(8)4、正定矩陣常見(jiàn)的性質(zhì)(12)5、止定二次型和正定矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用(18)5.1解題中的應(yīng)用(18)5.2極值問(wèn)題中的應(yīng)用(20)5.3幾何中的應(yīng)用(23)5.4統(tǒng)計(jì)屮的應(yīng)用(25)6、結(jié)論(26)參考文獻(xiàn)(27)外文摘要關(guān)鍵詞(III)淺談?wù)ǘ涡偷男再|(zhì)和應(yīng)用數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)指導(dǎo)老師蔡炳苓作者

2、李亞飛摘要二次型這一章節(jié)形式上在高等代數(shù)屮是獨(dú)立的，但它與矩陣的性質(zhì)、特征值、特征向量、Mathlab+矩陣的求解和線性變換等有很大的聯(lián)系，并且它的求解計(jì)算等思想又豐富了矩陣的計(jì)算和解析幾何屮二次曲面等知識(shí)。二次型的討論對(duì)象是二次函數(shù)，二次型在物理、統(tǒng)計(jì)、幾何、極值等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。其中正定二次型因其特殊的地位在許多應(yīng)用和理論研究中有很大的實(shí)用價(jià)值，本文簡(jiǎn)單介紹了二次型的相關(guān)定義：如正定矩陣、特征值等；概括解題中的正定二次型和正定矩陣判定定理和等價(jià)條件：如正定炬陣順序主子式大于零等；總結(jié)了一些性質(zhì)、應(yīng)用和證明；重點(diǎn)舉例

3、在解題屮的若干定理和性質(zhì)，進(jìn)行了總結(jié)和推廣并研究它的一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用。關(guān)鍵詞正定二次型，正定矩陣，可逆矩陣，主子式，特征值TT1緒論在實(shí)二次型中正定二次型占有特殊的地位，正定二次型和它相互唯一決定的正定矩陣是我們探討研究的重點(diǎn)，以下我們介紹二次型討論的常用手法，指出正定二次型的地位，給出實(shí)用性較強(qiáng)的定理和經(jīng)典例題，通過(guò)實(shí)例我們更好的了解正定二次型和正定矩陣的魅力。2預(yù)備知識(shí)2.1二次型的和關(guān)定義定義1設(shè)P是一數(shù)域，一個(gè)系數(shù)在數(shù)域P中的坷，兀2,…，兀的二次齊次多項(xiàng)式/（州,勺,…，?！埃?4]彳+2也2舛兀2+…+2ainX

4、lXn+°22兀；+?…+2°2,丿2?！?+色“丿：稱為數(shù)域P上的一個(gè)斤元二次型，或者，在不致引起混淆時(shí)簡(jiǎn)稱二次型.定義2設(shè)X],兀2,…,兀”，丁1，，2,…,兒是兩紐?文字，系數(shù)在數(shù)域P屮的一組關(guān)系式兀]=5*]+52)‘2+???+5兒兀2+?22力+???+。2“兒V無(wú)=C”J+C“2)‘2++C””兒稱為由州，勺，￡到…,兒的一個(gè)線性替換(簡(jiǎn)稱線性替換).如果系數(shù)行列式0]C]2…C]“C21C22…C2n工0????????????502…%則稱線性替換是非退化的.anM+an2XnX2+…+僉工=H?用?i

5、=lj=l定義3令aij=aji,i

6、CAC即得A=（C_,BC~｛；⑶傳遞性：由a,=c,ac,m2=c2a,c2即得血=（CG）y（CG）?定義5二次型中最簡(jiǎn)單的一種是只包含平方項(xiàng)的二次型d

7、+…+d“x；是二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.定義6二次型中標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)只為1,?1或0的，是二次型的規(guī)范形.定義7在實(shí)二次型/（州,兀2,…,￡）的規(guī)范形屮，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)卩稱為f（兀］,兀2,x”）的正慣性指數(shù);負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)r-p稱為/*（兀］，兀2,…忑）的負(fù)慣性指數(shù);它們的差p-（r-p）=2p-r稱為f（兀］,兀2,…，兀）的符號(hào)差.定義8設(shè)Z是數(shù)域P上線性空間V的一

8、個(gè)線性變換，如果對(duì)于數(shù)域P中一數(shù)入，存在一個(gè)非零向量使得Z<=20<,那么入）稱為Z的一個(gè)特征值，而/稱為Z的屬于特征值入的一個(gè)特征向量.2.2二次型的相關(guān)定理肚理1二次型可以用矩陣的乘積表示出來(lái)證明令X=x：有■a2(X】XfAX=(坷，兀2,…?心)a2???。22???…a2n??????兀2???a“2…ann7"丿a2}x}+a22x2(勺內(nèi)+G/2+…+仏兀「（兀］，兀2,…心）+???+%￡2“內(nèi)+%2兀2+???+仏?！?工工糾）兀?=/（西，％2,???,￡）f=l;=1這說(shuō)明二次型可以用矩陣的乘積

9、表示出來(lái).我們把二次型用炬陣表示出來(lái)，并且二者之間是相互唯一決定的.注意：任給A=（aij）eRllx,1那么XJ4X都是二次型，但此二次型的矩陣不一定是A,因?yàn)锳不一定是實(shí)對(duì)稱陣，因此二次型的矩陣是B=（m其屮b=au+aji0,丿=1,2??“)這時(shí)Br=B?例1判斷二次型<11000)/、1300