注意圖形線面關(guān)系,適當(dāng)運(yùn)用向量思想

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1、注意圖形線面關(guān)系，適當(dāng)運(yùn)用向量思想在高二立體幾何的多面體內(nèi)容復(fù)習(xí)過程中，我們除了要對一些基本概念：比如棱柱、棱錐、棱臺定義及其有關(guān)概念的辨析等進(jìn)行梳理外，述必須要經(jīng)常注意將這塊內(nèi)容和前面直線與平面的知識：空間線線、線面、面面關(guān)系緊密地聯(lián)系起來，在復(fù)習(xí)屮滲透立體幾何的基本思想：即對平行與垂直問題的證明以及距離與夾角的計算。同時也要考慮適當(dāng)注意運(yùn)用后續(xù)的向量知識來處理多面體中的證明和計算問題，從目前上海市的教材體系(一期課改教材)看，向量在立體幾何屮的運(yùn)用大多集屮在求解兩條異面直線所成角等方面，但是從全國各地的高考情況以及上海市二期課改的新

2、教材來看，向量在幾何中的應(yīng)用大人加強(qiáng)，運(yùn)用的范圍也比現(xiàn)在拓寬了許多。因此，作為高二學(xué)生的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)應(yīng)對向量在立體幾何中的各種應(yīng)用應(yīng)有所了解。這樣才能在以后高三的總復(fù)習(xí)中應(yīng)付裕如，游刃冇余。下而對一些典型例題利用多種角度作簡要的剖析，希望同學(xué)們能夠從小得到一些思維的借鑒。?例1?如圖，正三棱柱ABC-AiBiCj的棱長均為a,D是BC上的一點,AD丄C]D,(1)求證：截面ADC】丄側(cè)面BCC]BI；(2)求二面角C-ACrD的大??；人(3)求直線AiB與截面ADCj的距離。1分析：本題的背景是多面體問題(三棱柱)但是所要處理的問題卻是前

3、面一章的直線與平面問題，因此，可以選擇應(yīng)用傳統(tǒng)的立體幾何方法去考慮證明兩個平而的垂直；求解二而角的平而角；求解一條直線到一個平面的距離。(1)要證明兩個截面互相垂直，只需證平面ADCi中人有一條直線垂直于平面BCCiBp根據(jù)條件可以證得AD丄BBi，曲已知AD丄CQ,因此AD丄側(cè)面BCCjBp而AD在截面ADC)內(nèi),所以截面ADCi丄側(cè)面BCCiBlo(2)求解二面角C-ACi-D的大小，可以利用三垂線定理法作出二面角C-ACrD的平而角。過D作AC的垂線交ACTE點，然后證明DE丄平而AAjCjC,再過E作EF丄ACi，連結(jié)FD,則由

4、三垂線定理可知，F(xiàn)D丄ACi，因此ZEFD為二而角C-ACi-D的平而角，然后通過計算可得岀ZEFD=arctg^。3(3)要求直線A

5、B與截而ADG的距離，只需求出直線上任意一點到該截而的距離，因此可求B點到該截面的距離即可，而B到截面的距離可用等積變換的思想：連接BCi，利用Vb-aqd^a-bdc.來求出B到截面ADCi的距離為呢g對于木例的思考，其實我們述可以利用向量的方法去加以考慮，其思想方法如下：對第一小問，首先要確定D的位置，因此可以先以BC的中點0為空間坐標(biāo)的原點，OB為x軸正向，OA為y軸的止向，過O點垂直于xoy平面

6、向上的方向為z軸。然后標(biāo)出A(0,—a,0),D(x,0,0),Ci(--,0,a),通過向量22喬?麗=0,求出x=0,這樣D就與O點重合了(為BC的中點)。接下去，分別求出截面ADCi與側(cè)面BCC]B]的一個法向量石和石，計算石?石二0就可以得出截面ADCi丄側(cè)面BCCiBi。對于第二小問，我們可以通過求出平面ACC】的一個法向量為方=求;11cosa根據(jù)圖形可以得岀二面角C-ACi-D的大小為V15arccos。和求出平面ADCi的一個法向量兄1={-2,0-1},然后利用rfnx=1?I?I%Icosa對于第三小問。A]B到截血

7、ADCi的距離為d」"?川（證明略），其中方為InI截面ADCi的一個法向量，而截面ADCi的一個法向量上一小問已經(jīng)求出n={-2,0-1},因此本題就顯得非常輕松,馬上可以得出d=%。5反思木題的解答，我們可以看出盡管用傳統(tǒng)立幾方法和向量方法都可以解決本題，但是，傳統(tǒng)立體幾何方法顯然比較簡潔，而向量方法則顯得稍微煩瑣,特別是在證第一小問時非常羅嗦，但是如果第二問采用的是向量方法，那么第三問就顯得非常簡潔。因此，適當(dāng)選取方法是非常重要的。?例2?如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA丄底面ABCD,AB=V3。BC=

8、1,PA二2,E為PD的中點。（2005年湖北省高考20題）（1）求直線AC與PB所成角的余弦值；⑵在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N,使NE丄面PAC,并求出N點到AB和AP的距離。分析：對于本題的求解，應(yīng)用向量方法來考慮，對于思維的要求相對比較低，而對運(yùn)算的要求則比較高，但如果應(yīng)用傳統(tǒng)立休兒何方法來加以處理，則思維難度比較大，但運(yùn)算則和對簡潔。解法一（傳統(tǒng)兒何方法）對第一問，可以先取AC的中點0,連結(jié)EO、AE,則E01R〃PB,PB與AC所成角即為E0與AO所成的銳角（或直角）。而EO=-PB=—22AE年，A0=l,可求出ZEOA皿os潛，

9、即AC與PB所成角的余弦值為3^7O14對第二問，可以過D作DF丄AC交ABTF點，連結(jié)PF,則可以證明DF丄平面PAC,然后只要過E作EN平行于DF,交平面PAB于N點，則EN丄平面PAC,于是N點就找到