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《變分法在大學(xué)數(shù)學(xué)探究性教學(xué)中探析》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、變分法在大學(xué)數(shù)學(xué)探究性教學(xué)中探析摘要：結(jié)合教學(xué)實踐和科研工作的體會，將變分法的教學(xué)和科研相結(jié)合，從教學(xué)內(nèi)容方法的創(chuàng)新、研究性應(yīng)用以及學(xué)生素質(zhì)的培養(yǎng)等方面給出了變分法在教學(xué)過程中的幾點探討。關(guān)鍵詞：變分法；研究性教學(xué)；數(shù)學(xué)思想變分法是一種研究泛函極值的經(jīng)典方法。變分的理論和方法不僅在數(shù)學(xué)的很多分支中，而且在工程技術(shù)等眾多領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。變分法涉及到泛函分析的知識，一般情況下學(xué)生感覺內(nèi)容晦澀難懂且不易理解，這也是困擾教師教學(xué)的一個問題。在當(dāng)今大學(xué)提倡研究型教學(xué)，以培養(yǎng)研究型人才為目標(biāo)的形式下，教師在講授變分的理論和方法的同時，讓學(xué)
2、生接觸一些變分法在不同的物理背景以及后續(xù)可研究工作中的應(yīng)用等問題，即教學(xué)和科研相結(jié)合是值得研究和探討的問題。在保證教學(xué)質(zhì)量的前提下，突出學(xué)科的科研優(yōu)勢是我們追求的目標(biāo)。在變分法的教學(xué)過程中結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗以及科研工作的體會，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法以及研究性應(yīng)用等方面提出幾點教學(xué)改革探討。一、教學(xué)內(nèi)容方法的創(chuàng)新在變分學(xué)的理論研究和實際應(yīng)用中，都必須具備一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識。如微積分、常微分方程等是非常重要的工具Elio我們希望教學(xué)和科研聯(lián)系在一起，教師將后續(xù)科研問題及時地融入到教學(xué)過程中，不斷地更新教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興
3、趣，使學(xué)生了解到更多的信息和掌握解決問題的技巧。教師在初始講授時往往把握不當(dāng)，致使學(xué)生喪失了學(xué)習(xí)變分法的主動性。一般教材書［1］中以'‘最小旋轉(zhuǎn)曲面問題”和“最速降線問題”引入，這就要求學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)分析和物理背景的知識。建議教師授課時從不同的層面和領(lǐng)域引入不同的例子，一方面加深學(xué)生對概念的理解，另一方面提高他們的積極性，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。比如弧長公式，對直角坐標(biāo)系中兩點A(xO,yO)和B(xl,yl),連接兩點的曲線長度便是一個簡單的泛函：，通過這個例子使學(xué)生明白泛函變分的問題并沒有特別神秘的地方。另外教師還可從最優(yōu)控制的
4、角度引入問題，提高他們學(xué)習(xí)的興趣和主動性。如最優(yōu)分配問題，從甲乙兩個倉庫向A、B、C三個工地運送生產(chǎn)材料，問如何分配使運費最??？在最優(yōu)控制中的受控對象是一個動態(tài)系統(tǒng)，即目標(biāo)函數(shù)不再是普通函數(shù)，而是時間函數(shù)的函數(shù)，屬于動態(tài)優(yōu)化問題。授課過程中諸如此類的小知識點不容忽視，往往對后續(xù)的教學(xué)起到事半功倍的效果。教學(xué)過程中教師對教學(xué)內(nèi)容要深刻理解和把握，結(jié)合實際情況鼓勵學(xué)生積極地思考，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，參與討論和交流。二、變分法的研究性應(yīng)用變分法的提出不但解決了最速降線問題、懸鏈線問題和等周問題等一系列的數(shù)學(xué)難題，還在彈性力學(xué)、流體力學(xué)、量
5、子力學(xué)和工程技術(shù)等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，目前仍有很多的科學(xué)工作者致力于變分法的研究。（一）歐拉方程的應(yīng)用歐拉方程在求解泛函極值問題中起到了非常重要的作用，至今是研究各類問題的有效方法。教師在教學(xué)中可適當(dāng)將最新的前沿知識滲透給學(xué)生，如2011年有作者在《低溫建筑技術(shù)》發(fā)表《利用經(jīng)典變分法對最小旋轉(zhuǎn)曲面問題解答》一文[2],該文主要就是利用變分法經(jīng)典歐拉方程和傳統(tǒng)做法中歐拉方程的初積分方程分別對最小旋轉(zhuǎn)曲面問題進行了解答，教師可用此文引導(dǎo)學(xué)生思考，即使是經(jīng)典的知識也可有創(chuàng)新的地方，也可讓學(xué)生試著用這種思路去考慮最速降線等其他的問題，從而
6、加深他們對變分法理論知識和應(yīng)用的理解，提高解決實際問題的能力。教師豐富的知識體系能使學(xué)生體會到學(xué)科之間的聯(lián)系，任何一門知識都不是孤立存在的，它往往與很多學(xué)科領(lǐng)域有著相關(guān)性。希望學(xué)生能夠從整體上把握知識結(jié)構(gòu)，形成體系,為今后的工作和科研打下堅實的基礎(chǔ)，這也是我們研究性的教學(xué)過程中一直探討的問題。（二）求解非線性問題的應(yīng)用結(jié)合自己的科研體會，給出變分法在求解非線性問題中的一點應(yīng)用。研究非線性常、偏微分方程(組)的精確解和近似解是一項非常有價值和重要意義的工作?？紤]如下Fisher型的非線性單種群擴散問題其中u(x,t)表示種群的密度，反應(yīng)
7、項F(u)是種群的增長項，初值條件：u(X,0)=1/(1+ex)2,根據(jù)變分迭代法的思想［3］建立如下的迭代關(guān)系式：u0(x,t)表示初始近似值，入(E)是Lagrange乘子，即所謂的變分，令廣義泛函取極值，注意到，有取極值的必要條件為：8un：1+入(^)=0,得Lagrange乘子入(E)=-1,利用迭代關(guān)系式和初值條件進行迭代便得到問題的近似解。變分迭代法求解非線性問題是當(dāng)今一個非常熱的研究課題。在保證教學(xué)大綱的教學(xué)內(nèi)容得以實現(xiàn)的前提下，教師根據(jù)學(xué)生已經(jīng)掌握的基礎(chǔ)知識，做好前期輔導(dǎo)工作，自然地引入研究性的教學(xué)內(nèi)容，并合理的安
8、排教學(xué)時間，引導(dǎo)學(xué)生課下思考和探究問題，開拓鍛煉學(xué)生思考問題的能力［4］。三、注重數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì)1696年JohannBernoulli提出的“最速降線"問題是向數(shù)學(xué)家提出的一個難題。Hospital,Leibn
