巖土數(shù)值分析考試2

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1、巖土數(shù)值分析期末試題一、名詞解釋：格林函數(shù)答：1）在數(shù)學中，格林函數(shù)是一種用來解有初始條件或邊界條件的非齊次微分方程的函數(shù)；2）在數(shù)學物理中，格林函數(shù)又稱為點源影響函數(shù)，它表示一種特定的"場"和產(chǎn)生這種場的"源"之間的關(guān)系。例如，熱傳導方程表示溫度場和熱源之間的關(guān)系，泊松方程表示靜電場和電荷分布的關(guān)系，等等。這樣，當源被分解成很多點源的疊加時，如果能設(shè)法知道點源產(chǎn)生的場，利用疊加原理，我們可以求出同樣邊界條件下任意源的場，這種求解數(shù)學物理方程的方法就叫格林函數(shù)法。而點源產(chǎn)生的場就叫做格林函數(shù)。定義：給定流形M上的微分算子L，其格林函數(shù)，為以下方程的解其中為狄拉克δ函數(shù)。

2、二、簡答：1、巖土工程數(shù)值分析方法的根本缺陷？答：將數(shù)值分析方法引入巖土工程中，進行定量分析是一個重要的發(fā)展方向，但是，所有這些數(shù)值分析方法的在引入過程中，都存在一個根本缺陷，這個根本缺陷就是邊界問題一直沒有得到真正的解決。比如，有限元、離散元、FLAC等方法，能夠計算復(fù)雜裂隙塊體系統(tǒng)的問題，甚至是大變形的問題，但是，離散元本身并沒有對在計算之前如何才能建立一個合理、可靠的復(fù)雜裂隙系統(tǒng)提供任何有效的方法。這就使得巖土工程數(shù)值計算的地質(zhì)力學模型帶來了很大的任意性，從而也使巖土工程中的計算結(jié)果定量化問題不能真正的實現(xiàn)。2、巖土工程數(shù)值分析基本程序？答：針對科學與工程實際問題

3、，依據(jù)物理、力學規(guī)律建立問題的數(shù)學模型，這些模型一般為代數(shù)方程、微分方程等?？茖W計算的一個重要方面就是研究解這些數(shù)學問題的數(shù)值計算方法（適合計算機計算的計算方法），然后通過計算軟件在計算機上計算出實際需要的結(jié)果。數(shù)值分析內(nèi)容包括：函數(shù)的插值與逼近方法，微分與積分計算方法，線性方程組與非線性方程組計算方法，常微分方程與偏微分數(shù)值解等。1、為什么邊界元法缺乏知名商業(yè)軟件？答：一方面，邊界元法的應(yīng)用范圍必須以存在相應(yīng)微分算子的基本解為前提，而且，建立的求解代數(shù)方程組的系數(shù)陣是非對稱滿陣，方程組系數(shù)的積分計算和方程組的求解所需時間長，對解題規(guī)模產(chǎn)生了較大限制；另一方面，由于邊界

4、問題的復(fù)雜性，人們對邊界問題沒有真正了解，開發(fā)的邊界元法商用軟件不像有限元法那樣容易實現(xiàn)，前后處理十分頻繁?？傊捎谶吔缭ǖ木窒扌院腿藗儗吔缭獑栴}難以把握，使邊界元軟件沒有得到廣大的認可，進而開發(fā)商缺少商業(yè)價值，所以，就目前來說，還沒有出現(xiàn)有關(guān)邊界元法的知名商業(yè)軟件。三、證明：球應(yīng)力張量與形狀應(yīng)變、偏應(yīng)力張量與體積應(yīng)變是否存在偶和作用？對于各向同性材料，球應(yīng)力張量與形狀應(yīng)變、偏應(yīng)力張量與體積應(yīng)變不存在耦合作用；對于各向異性材料，球應(yīng)力張量與形狀應(yīng)變、偏應(yīng)力張量與體積應(yīng)變存在耦合作用。證明：1）各向同性應(yīng)力張量可以分解為一個各方向應(yīng)力相等的球應(yīng)力張量和偏應(yīng)力張量：其

5、中，應(yīng)變張量分解為球應(yīng)變張量和偏應(yīng)變張量：其中，由廣義胡克定律：于是從而由（1）、（2）可知，球應(yīng)力張量只能使物體產(chǎn)生體積變化，偏應(yīng)力張量使物體產(chǎn)生形狀變化，而不能產(chǎn)生體積變化。因此，得證。2）各向異性各向異性材料的一般應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系：球應(yīng)力張量引起的的形狀應(yīng)變把體積變形與剪切變形分開，并令則有記平面應(yīng)變?yōu)椋瑒t偏應(yīng)力張量引起的體積變形為則對應(yīng)的體積應(yīng)變由（3）、（4）式可知：對于各向異性材料，應(yīng)力球張量、應(yīng)力偏張量的各個分量均是線性關(guān)系，正應(yīng)力不僅要引起線應(yīng)變，同時還要引起切應(yīng)變；而且切應(yīng)力不僅引起切應(yīng)變，還要引起線應(yīng)變。因此，得證！四、求對流方程的三種差分方程和截斷誤

6、差。初值問題：解：對作傅里葉變換，假定當時，。得解得于是在平面上作分別平行于軸和軸的兩組平行線其中，為空間步長，為時間步長。將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)形式：在節(jié)點處有從而可得向前差分公式同理可利用節(jié)點得到向后差分公式分別在節(jié)點和處多取一項，則有聯(lián)立兩式求得中心差分公式1）向前差分的截斷誤差將向前差分公式（1）帶入擴散方程得設(shè)是向前差分格式的截斷誤差，則依據(jù)截斷誤差的概念可得在上式中，帶括號部分為零，其余部分代入下列在節(jié)點處的帶余項的泰勒級數(shù)展開式，即并注意到滿足擴散方程，從而，可得所以，向前差分格式對時間的精度是一階的，對空間的精度也是一階的。2）向后差分格式的截斷誤差將向前

7、差分公式（2）帶入擴散方程得設(shè)是向后差分格式的截斷誤差，則依據(jù)截斷誤差的概念可得在上式中，帶括號部分為零，其余部分代入下列在節(jié)點處的帶余項的泰勒級數(shù)展開式，即并注意到滿足擴散方程，從而，可得所以，向后差分格式對時間的精度是一階的，對空間的精度也是一階的。3）中心差分格式的截斷誤差將中心差分公式（3）帶入擴散方程得設(shè)是差分格式（4）的截斷誤差，則依據(jù)截斷誤差的概念可得在上式中，帶括號部分為零，其余部分代入下列在節(jié)點處的帶余項的泰勒級數(shù)展開式，即并注意到滿足擴散方程，從而，可得所以，該差分格式對時間的精度是一階的，對空間的精度也是一階的。五、