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《例談抽象函數(shù)常見(jiàn)類型與解題策略》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。
1、例談抽象函數(shù)常見(jiàn)類型與解題策略■中學(xué)數(shù)學(xué)論文例談抽象函數(shù)常見(jiàn)類型與解題策略張會(huì)賓(藁城市第九中學(xué)，河北石家莊052160)摘要:在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中抽象函數(shù)是一個(gè)重要概念也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn),所謂抽象函數(shù)，是指沒(méi)有給出具體的函數(shù)解析式，只給岀一些特殊條件或特征的函數(shù)。解決這類問(wèn)題，需要我們由條件去判斷或推出該函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性，奇偶性,周期性)，從而達(dá)到解題的目的。然而，由于這類問(wèn)題本身的抽象性和其性質(zhì)的隱蔽性,學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí),往往感到無(wú)從下手,正確率很低。筆者就這類問(wèn)題中常見(jiàn)題型談?wù)勛约旱目捶?。關(guān)鍵詞:抽象函數(shù)；常見(jiàn)類型；解題策略中圖分類號(hào):G633文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào):1005-
2、6351(2013)-07-0023-01一、抽象函數(shù)奇偶性問(wèn)題這類問(wèn)題要根據(jù)已知條件，通過(guò)恰當(dāng)?shù)馁x值代換，尋求f(x)與f(?x)的關(guān)系。例1:(1)已知函數(shù)f(x)(xeR,XH0)對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù)xl、x2都有f(xl-x2)=f(xl)+f(x2),試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。(2)若函數(shù)f(x)(xWR,XH0)對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù)xl、x2都有f(xl+x2)=f(xl)+f(x2),試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。解析：(1)令f(x)的定義域是x/0的一切實(shí)數(shù)，令xl二x2二xf(xl+x2)=f(xl)+f(x2)(1)所以,f(x2)=2f(x)(2)令xl=x2=
3、-xz代入⑴得:f(x2)=2f(-x)(3)將(2)代入⑶得:f(x)=f(-x),所以，f(x)為偶函數(shù)(2)證明：f(x)的走義域是XHO的一切實(shí)數(shù)，令xl二x2二xf(xl+x2)=f(xl)+f(x2)(1)所以,f(2x)=2f(x)(2)令xl=2x,x2=-x代入⑴得:f(x)=f(2x)+f(-x)(3)將(2)代入⑶得:-f(x)=f(-x)所以，f(x)為奇函數(shù)二、單調(diào)性問(wèn)題抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題多用定義法解決,這類問(wèn)題要充分利用題中所給的條件結(jié)合函數(shù)單調(diào)性定義來(lái)判斷。例3:設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)二f(x)+f(y),若xO時(shí)f(x)O，且f
4、⑴二求f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.靄^:二一十.srzrwr.:〈-家心嚴(yán)Ct?-=.疔-=-.7
5、?+XI)===4IX-)+0X1)AylHl)?(???3—XIV0-.JH2—XI)Ao-5SX)汐/?S篦去選?Av?)空—3.3〕s￡汁注匕/■(3)h/u)+、2)mm二);6更僉芝—3)9JHno-WS0)Ho?:;、H—A■r<,〔—A-<(X)<(0)nO&=H)W
6、(鑒盤：一工§y^y)/A0(劃)+、?)』=>、％+f)/A、?A7)HH心CCMc.r?三二乂X2)1、〔V)==>—^???-*一-IJ,_上)q(卜)X】s&og$?sexf<0二mF)—、?"Ao?裟遙選XIyx)*(0?+8二.?q.-'sfeFr召>2+)、2wuKA73爪、~L)?Jxyfxy為且僅當(dāng)X=/時(shí)等號(hào)成工)，因此aW圧所以0WuW?圧三、周期性問(wèn)題這類問(wèn)題比較抽象?在解題時(shí)要充分觀察和分析題中所給條件通過(guò)變換得到關(guān)系式/(?)=/(?+?)即可判定函數(shù)的周期例5：已知函數(shù)/(x)滿足/(1>)=/(.V+y?+/'t->M^yeR),則/(2010)=.I
7、1：1Ra=1.z=0得/(O)-取X=n,y=1,有y(n)=/(n?1)+/(n-1),同3g/(n+1)=/(n+2)+/5)聯(lián)芷得心+22YD.所以T=6故/2010)=/(0)=丄解決此類問(wèn)題需要拿握一些較典型的關(guān)系式?現(xiàn)總結(jié)如下:1J.1+a)=/(x-a)—=2
8、<1
9、/(/(/(/(23456/x)=1a+x)=/'(b+h)—T=l)-ar)=-/(x+ai—=2
10、?
11、“+x)=-/(b+x)—^T=2
12、6-ag)H0)四、利用函數(shù)模型解決問(wèn)題—步推理其他的性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)律，有時(shí)候用常規(guī)方法解決很難，但與具體函數(shù)〃對(duì)號(hào)入座〃問(wèn)題就容易解決了。例6:已知函數(shù)f(x)對(duì)
13、田可xzyeR，總有f(x)+f(y)二f(x+y),且當(dāng)xO時(shí),f(x)0o(1)判斷函數(shù)的奇偶性，(2)判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性。分析：對(duì)任何xzyeR，總有f(x)+f(y)二f(x+y),可猜想抽象函數(shù)f(x)生成的原形函數(shù):f(x)=kx，由xO時(shí)，f(x)0o知kO,所以問(wèn)題(11(2)的答案可大膽猜想如下：(1)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，(2)函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)。常見(jiàn)的抽象函數(shù)模型有:⑴線性函數(shù)模型。若f(x)定義域?yàn)镈
