群論群的線性表示基礎(chǔ)

《群論群的線性表示基礎(chǔ)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、第二章有限群的表示理論2.1群的線性表示2.2等價(jià)表示、表示的幺正性和不可約表示2.3有限群的表示理論2.4有限群不可約表示的特征標(biāo)表2.5新表示的構(gòu)成2.6物理應(yīng)用2.1群的線性表示一、線性空間與線性變換1.線性空間（矢[向]量空間）是定義在數(shù)域K(如實(shí)數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C)上的矢量集合{x，y，z，...}=V在V中可以定義加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算：設(shè)矢量加法和數(shù)乘具有封閉性，且滿足加法：x+y=y+x交換律x+(y+z)=(x+y)+z結(jié)合律x+0=x有唯一零元素對(duì)任一x,有唯一(-x)，x+(-x)=0數(shù)乘：1?x=x(ab)x=a(bx)a(x+

2、y)=ax+ay(a+b)x=ax+bx若將加法運(yùn)算看成群的‘乘法’則線性空間V構(gòu)成一個(gè)阿貝爾的加法群恒元逆元線性空間是定義在數(shù)域上的矢量集合，且定義了矢量加法和數(shù)乘2.線性變換設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間線性變換A是將V映入V的線性映射，即對(duì)x,y∈V，a∈K有A：V→V，A(x)∈V對(duì)V中矢量x進(jìn)行A變換仍屬于VA(ax+y)=aA(x)+A(y)線性線性變換的運(yùn)算設(shè)A和B是從V到V的線性變換，則可定義線性變換的數(shù)乘、加法和乘法為：(aA)(x)=a(A(x))(A+B)(x)=A(x)+B(x)(AB)(x)=A(B(x))逆線性變換的運(yùn)算若線

3、性變換是把V映入V的一一對(duì)應(yīng)滿映射，則存在A的逆線性變換A-13.n維線性空間若線性空間V中最多有n個(gè)線性獨(dú)立（線性無(wú)關(guān)）的矢量，則稱V是n維線性空間基（矢）：(e1,e2,...,en)矢量：坐標(biāo)系：基(e1,e2,...,en)也稱為坐標(biāo)系坐標(biāo)：有序數(shù)組(x1,x2,...,xn)也稱為x的坐標(biāo)矩陣表示形式基（矢）：線性變換：矢量：A作用到基上A作用到矢量上非奇異線性變換：當(dāng)detA≠0時(shí)，存在A的逆矩陣A-1，它對(duì)應(yīng)于變換A的逆變換，這是稱A是非奇異的4.復(fù)一般線性群設(shè)V為n維復(fù)矢量空間（即數(shù)域K為復(fù)數(shù)域C），V上全部線性變換當(dāng)定義乘法為連

4、續(xù)兩次線性變換時(shí)構(gòu)成一個(gè)群，稱為n維復(fù)一般線性群，記為GL(n,C)，有時(shí)也記為GL(V,C)線性變換群V上非奇異線性變換構(gòu)成的群，稱為線性變換群，記為L(zhǎng)(V,C)，顯然L(V,C)屬于GL(VC)●若在V中選一組基（e1,...,en），則群中互逆元素矩陣與相應(yīng)逆矩陣V中非奇異線性變換n×n非奇異矩陣群L(V,C)n×n非奇異矩陣群群的乘法矩陣的乘法群的恒元n×n單位矩陣●若找到與給定群同構(gòu)的矩陣群，則矩陣群性質(zhì)完全反映給定群的性質(zhì)●若找到與給定群同態(tài)的矩陣群，則矩陣群性質(zhì)反映給定群的部分性質(zhì)（同態(tài)核以外）二、線性表示1.定義若行列式不為零的m

5、×m矩陣集合構(gòu)成的群D(G)與給定群G同構(gòu)或同態(tài)，則D(G)稱為群G的一個(gè)m維線性表示，簡(jiǎn)稱表示（representation）.表示矩陣：在D(G)中，與G中元素R對(duì)應(yīng)的矩陣D(R)稱為元素R在表示D(G)中的表示矩陣特征標(biāo)：表示矩陣D(R)的跡χ(R)=TrD(R)稱為元素R在表示D(G)中的特征標(biāo)（character）注意規(guī)定：表示矩陣行列式不為零，保證表示矩陣存在逆矩陣恒元：表示矩陣D(R)=I互逆元素：表示矩陣為互逆矩陣D(R-1)=D(R)-12.分類1)真實(shí)表示（忠實(shí)表示）：D(G)≈G非真(忠)實(shí)表示：D(G)~G若D(G)≈G，

6、且G'≈G則D(G)≈G'2)恒等表示（平庸、單位、顯然表示）：讓群中所有元素都對(duì)應(yīng)1，D(R)=1，得到的表示任何群都有恒等表示自身表示：任何矩陣群本身就是自己的表示幺正表示：表示矩陣是幺正矩陣D(R)+D(R)=I實(shí)正交表示：表示矩陣是實(shí)正交矩陣D(R)+D(R)=I，D(R)TD(R)=I，detD(R)=±1群的表示不唯一練習(xí)設(shè)G是一個(gè)非阿貝爾群，D(G)是群G的一個(gè)真實(shí)表示，元素R的表示矩陣為D(R)，現(xiàn)讓群G元素R分別于下列矩陣對(duì)應(yīng)問(wèn)：此矩陣的結(jié)合是否分別構(gòu)成群G的表示？(1)D(R)+(2)D(R)T(3)D(R-1)(4)D(R)

7、*(5)D(R-1)+(6)detD(R)(7)TrD(R)三、群代數(shù)和有限群的正則表示1.群函數(shù)函數(shù)關(guān)系：自變量和因變量之間的一種確定關(guān)系y=f(x)定義：若對(duì)于群G的每一個(gè)元素R，都有一個(gè)確定的數(shù)F(R)與之對(duì)應(yīng)，這樣以群元素作為自變量的函數(shù)稱為群函數(shù)記為F(G)可以是矢量函數(shù)、矩陣函數(shù)等說(shuō)明(1)有限群，群函數(shù)自變量有g(shù)個(gè)取值(g是群的階)，則有限群線性無(wú)關(guān)的群函數(shù)數(shù)目等于群的階g(2)群G的每一個(gè)線性表示D(G)都是群G的一個(gè)矩陣函數(shù)(3)表示矩陣的每一個(gè)元素Dμν(G)都是群G的一個(gè)群函數(shù)（數(shù)值）(4)特征標(biāo)χ(R)=Tr(R)也是群G

8、的一個(gè)群函數(shù)（數(shù)值）(5)共軛元素特征標(biāo)相同，因此特征標(biāo)也是類的函數(shù)證明作為練習(xí)2.群空間1)群元素的加法（R+S）：c1R+c2S=c