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《函數(shù)切線問題的解法探究》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、函數(shù)切線問題的解法探究■中學(xué)數(shù)學(xué)論文函數(shù)切線問題的解法探究江蘇省如皋市第一中學(xué)許琴函數(shù)圖象的切線問題使許多同學(xué)感到抽象，覺得不易作出，也不易求解，覺得深不可測,缺乏深刻的認(rèn)識?？墒沁@類問題又是考查的重點(diǎn)難點(diǎn)之_,在各類考試中頻繁出現(xiàn)，作為學(xué)生必須理清眉目z找到思維的腳手架,才能應(yīng)付自如，實(shí)現(xiàn)切線問題的〃大瘦身〃。函數(shù)y=f(x)的切線求法：公式:設(shè)切點(diǎn)為(xOzyO)z則切線方程為y-yO二f(x0)(x-xO)知識點(diǎn)：切點(diǎn)既在切線上也在曲線上，切線的斜率等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)值?！?、單個(gè)函數(shù)的切線問題例］:已知函數(shù)f(x)=x3-3x:(1)求曲線y二f(x)在
2、點(diǎn)x=2處的切線方程；(2)若過點(diǎn)A(lzm)(m^-2)可作曲線y二f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解:(l)f(x)=3x2-3,ff(2)=9,f(2)=2,則曲線y=f(x)在x=2處的切線方程為:y-2=9(x-2)z即y=9x-16(2)過點(diǎn)A(1,m)向曲線y二f(x)作切線z設(shè)切點(diǎn)為(xO,yO)32則yo=%-3.?xo)=3x0-3所以切線方程為y-(x0-3x0)=(3x~-3)(x-x0)將A(1,m)代入上式,整理得3；-玩十加+3=0因?yàn)檫^點(diǎn)A(1,ni)(n?#2)可作曲線x)的三條切線，所以方程2x：-3￡+m+3=0有三個(gè)
3、不同的實(shí)數(shù)根，即g(x)=2x3-3x2+m+3,g‘(x)=6x2-6x=6x(x-1)另列表如下：X(-8,0)0(O1)1(1,+oc)+0—()+遞増極大遞減極小遞增當(dāng)x=0時(shí)，g(x)有極大值m+3;當(dāng)x=l時(shí),g(x)有極小值m+2由題意得,g(0)>0且g(1)<0/解得4、解題的新突破。二、兩個(gè)函數(shù)的公切線且切點(diǎn)同一例2:設(shè)函數(shù)f(x)二alnx+bx(a>0),g(x)=x2,若f(l)二g(1),f,(l)=g,(l)/是否存在實(shí)數(shù)k和m,使得f(x)kx+m?若存在/求岀k和m的值；若不存在z說明理由。解：由f(l)=g(l),f(l)=gf(x),得a=b=l,則f(x)二lnx+x。因f(x)和g(x)有一個(gè)公共點(diǎn)(1,1),而函數(shù)g(x)=x2在點(diǎn)(1,1)的切線方程y=2x?l,下面驗(yàn)證f(x)<2x-l,g(x)>2x-l都成立;設(shè)h(x)=lnx+x-(2x-l),h*(x)=l/x-l=(1
5、-x)/x易知其在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減，所以h(X)在x“時(shí)取得最大值h(1)二0,則lnx+x<2x-l恒成立；另外x2-2x+l>0z得x2>2x-l,知g(x)>2x-l恒成立，故存在這樣的k和m,且k=2,m=-lo說明：該題是我們不生疏的”隔離直線〃問題,恰巧的是此直線也是兩曲線的公切線，且切點(diǎn)同_。采取的方法是先找出公共點(diǎn)，根據(jù)公式求出切線方程，然后驗(yàn)證該切線為〃隔離直線〃，即先求再證?？墒窃擃}在全市上學(xué)期期末考試中得分率很低，學(xué)生連切線都沒求出，更不談證明了?？己髥枌W(xué)生思維受阻在何處,—者說沒發(fā)現(xiàn)公共點(diǎn)，另一者說不知道是切線。種種現(xiàn)
6、象說明,學(xué)生對于兩函數(shù)的公切線毫無知識儲備，其實(shí)本質(zhì)跟一函數(shù)的切線求法異曲同工：找出切點(diǎn)，代入切線方程的公式’借助函數(shù)與方程的方法解題。三、兩個(gè)函數(shù)的公切線且切點(diǎn)不同例3:已知函數(shù)f(x)二ex,g(x)二Inx是否存在直線I,使得I同時(shí)是函數(shù)f(x)rg(x)的切線?說明理由。解：假設(shè)存在直線I同時(shí)是函數(shù)f(x)zg(x)的切線，設(shè)I與f(x),g(x)分別相切于點(diǎn)M(mzem)ZN(nJnn),貝［JI:y-em=em(x-m)或y-lnn=l/n(x-n)zem=l/n,em(1-m)=lnn-l要說明I是否存在z只需說明上述方程組是否有解。由em=l/n得
7、n二e?m,代入em(1-m)二，彳導(dǎo)em(1-m)=-m-l即em(1-m)+m+l二0,令h(m)=em(1-m)+m+l因?yàn)閔(1)=2>0zh(2)=-e2+3<0,所以方程em(1-m)+m+l=O有解，則方程組有解，故存在直線同時(shí)是函數(shù)f(X)和g(x)的切線。說明：這類問題對于眾多考生來說，可算是徹底〃卡殼〃，全然找不到解題的途徑。這時(shí)候如果能夠認(rèn)真讀題，畫出草圖，撥開浮云遮望眼，定能有所發(fā)現(xiàn)。以上題為例，首先須發(fā)現(xiàn)是函數(shù)f(x)和g(x)的公切線z其次通過畫出草圖可見切點(diǎn)不同_,接著思路就水到渠成了。根據(jù)切點(diǎn)不同分別設(shè)切線方程，將兩者都化成斜截式,
8、由于是公切
