概率統(tǒng)計(jì)正態(tài)分布

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1、正態(tài)分布的前世今生(上)2013/01/28經(jīng)典理論歷史、正態(tài)分布rickjin神說，要有正態(tài)分布，就有了正態(tài)分布。神看正態(tài)分布是好的，就讓隨機(jī)誤差服從了正態(tài)分布。創(chuàng)世紀(jì)—數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.正態(tài)分布，熟悉的陌生人學(xué)過基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)學(xué)的同學(xué)大都對(duì)正態(tài)分布非常熟悉。這個(gè)鐘形的分布曲線不但形狀優(yōu)雅，它對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式f(x)=12π??√σe?(x?μ)22σ2也非常具有數(shù)學(xué)的美感。其標(biāo)準(zhǔn)化后的概率密度函數(shù)f(x)=12π??√e?x22更加的簡潔漂亮，兩個(gè)最重要的數(shù)學(xué)常量π、e都出現(xiàn)在這公式之中。在我個(gè)人的審美之中，它也屬于top-N的最美麗的數(shù)學(xué)公式之一，如果有人問我數(shù)理統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域哪個(gè)公式最

2、能讓人感覺到上帝的存在，那我一定投正態(tài)分布的票。因?yàn)檫@個(gè)分布戴著神秘的面紗，在自然界中無處不在，讓你在紛繁蕪雜的數(shù)據(jù)背后看到隱隱的秩序。正態(tài)分布曲線正態(tài)分布又通常被稱為高斯分布，在科學(xué)領(lǐng)域，冠名權(quán)那是一個(gè)很高的榮譽(yù)。2002年以前去過德國的兄弟們還會(huì)發(fā)現(xiàn)，德國1991年至2001年間發(fā)行的的一款10馬克的紙幣上印著高斯(CarlFriedrichGauss,1777-1855)的頭像和正態(tài)密度曲線，而1977年東德發(fā)行的20馬克的可流通紀(jì)念鋼镚上，也印著正態(tài)分布曲線和高斯的名字。正態(tài)分布被冠名高斯分布，我們也容易認(rèn)為是高斯發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布，其實(shí)不然，不過高斯對(duì)于正態(tài)分布的歷史地位的確立是起

3、到了決定性的作用。德國馬克和紀(jì)念幣上的高斯頭像和正態(tài)分布曲線正態(tài)曲線雖然看上去很美，卻不是一拍腦袋就能想到的。我們在本科學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的時(shí)候，課本一上來介紹正態(tài)分布就給出分布密度函數(shù)，卻從來不說明這個(gè)密度函數(shù)是通過什么原理推導(dǎo)出來的。所以我一直搞不明白數(shù)學(xué)家當(dāng)年是怎么找到這個(gè)概率分布曲線的，又是怎么發(fā)現(xiàn)隨機(jī)誤差服從這個(gè)奇妙的分布的。我們在實(shí)踐中大量的使用正態(tài)分布，卻對(duì)這個(gè)分布的來龍去脈知之甚少，正態(tài)分布真是讓人感覺既熟悉又陌生。直到我讀研究生的時(shí)候，我的導(dǎo)師給我介紹了陳希儒院士的《數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)簡史》這本書，看了之后才了解了正態(tài)分布曲線從發(fā)現(xiàn)到被人們重視進(jìn)而廣泛應(yīng)用，也是經(jīng)過了幾百年的歷史。正

4、態(tài)分布的這段歷史是很精彩的，我們通過講一系列的故事來揭開她的神秘面紗。2.邂逅，正態(tài)曲線的首次發(fā)現(xiàn)第一個(gè)故事和概率論的發(fā)展密切相關(guān)，主角是棣莫弗(AbrahamdeMoivre,1667-1754)和拉普拉斯(Pierre-SimonLaplace1749-1827)。拉普拉斯是個(gè)大科學(xué)家，被稱為法國的牛頓；棣莫弗名氣可能不算很大，不過大家應(yīng)該都應(yīng)該很熟悉這個(gè)名字，因?yàn)槲覀冊诟咧袛?shù)學(xué)學(xué)復(fù)數(shù)的時(shí)候都學(xué)過棣莫弗公式(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ).而棣莫弗所寫的《機(jī)遇論》（Thedoctrineofchances）是概率論發(fā)展歷史中很重要的一本書。牛頓對(duì)棣莫弗十分

5、欣賞,遇到學(xué)生向他請教概率方面的問題時(shí)，他就說：“這樣的問題應(yīng)該去找棣莫弗，他對(duì)這些問題的研究比我深入得多。”棣莫弗和拉普拉斯古典概率論發(fā)源于賭博，惠更斯(ChristiaanHuygens,1629-1695)、帕斯卡(BlaisePascal,1623-1662)、費(fèi)馬(PierredeFermat,1601-1665)、雅可比·貝努利(JacobBernoulli,1654-1705)都是古典概率的奠基人，他們那會(huì)研究的概率問題大都來自賭桌上，最早的概率論問題是賭徒梅累在1654年向帕斯卡提出的如何分賭金的問題。統(tǒng)計(jì)學(xué)中的總體均值之所以被稱為期望(Expectation),就是源自

6、惠更斯、帕斯卡這些人研究平均情況下一個(gè)賭徒在賭桌上可以期望自己贏得多少錢。有一天一個(gè)哥們，也許是個(gè)賭徒，向棣莫弗提了一個(gè)和賭博相關(guān)的問題：A、B兩人在賭場里賭博，A、B各自的獲勝概率是p,q=1?p,賭n局。兩人約定：若A贏的局?jǐn)?shù)X>np,則A付給賭場X?np元；若X

7、棣莫弗尋找近似計(jì)算的方法。與此相關(guān)聯(lián)的另一個(gè)問題，是遵從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X～B(n,p),求X落在二項(xiàng)分布中心點(diǎn)一定范圍的概率Pd=P(

8、X–np

9、≤d)。對(duì)于p=1/2的情形，棣莫弗做了一些計(jì)算并得到了一些近似結(jié)果，但是還不夠漂亮，幸運(yùn)的是棣莫弗和斯特林(JamesStirling,1692-1770)處在同一個(gè)時(shí)代，而且二人之間有聯(lián)系，斯特林公式是在數(shù)學(xué)分析中必學(xué)的一個(gè)重要公式n!≈2πn???√(ne)n.事實(shí)上斯特林公式的