例談“放縮法”證明不等式的基本策略（精）

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1、例談“放縮法”證明不等式的基本策略近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，而不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的一個難點，它可以考察學(xué)生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提的是，髙考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關(guān)系的樸素思想和基本出發(fā)點，有極大的遷移性，對它的運用往往能體現(xiàn)出創(chuàng)造性?！胺趴s法”它可以和很多知識內(nèi)容結(jié)合，對應(yīng)變能力有較高的要求。因為放縮必須有1=1標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察，放縮時要注意適度，否則就不能同向傳遞。下面結(jié)合一些高考試題，例談“放縮”的

2、基本策略，期望對讀者能有所幫助。1、添加或舍棄一些正項（或負(fù)項）例仁已知％=2“_lgN）求證：巴—丄＜去+玉+...+上23勺偽?！?1〉以(丄+丄-23222+???+丄)=上一丄(1-—)>--2"23T2證明：???5=代+1_2A-1_11_11、111一2知】_1一22(2a+,-1)~23.2*+2*-2一232k'一'，—無電*魚++仏23a2a3alt+l2若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一?些負(fù)的值，多項式的值變小。由于證明不等式的需耍，有時需耍舍去或添加一些項，使不等式一邊放

3、大或縮小,利川不等式的傳遞性，達到證明的目的。本題在放縮時就舍去了2*-2,從而是使和式得到化簡.2、先放縮再求和（或先求和再放縮）例2、函數(shù)f(x)=■——l+4x求證：/(1)4/(2)+?????/(/?)>n+2〃+1-(77G/V*).2證明：由心）二上二=1-—^〉1一一—1+4”1+4"2?2"得f(1)寸(2)+???4/S)>1一一+1一一+???4-1一一—2-212-222?2"=n-丄(1+丄+丄+--(nwN、4242n_2"+2此題不等式左邊不易求和,此時根據(jù)不等式右邊特征，先將分子變?yōu)槌?shù)

4、，再對分母進行放縮，從而對左邊可以進行求和.若分子，分母如果同時存在變量時，要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ?，分式的放縮對于分子分母均取」E值的分式。如需放大，則只耍把分子放大或分母縮小即可；如盂縮小，則只要把分了縮小或分母放人即可。3.先放縮，后裂項（或先裂項再放縮）例3、已知an=n,求證:nk=Clk<3.1“><1+s]_P伙一1)心+1)V1+百7伙一1)伙+1)(+[k^)n1+工k=2血-1）伙+i）n=1+￡k=211"以一1)寸伙+1))=1+1+——<2+—<3.2y/npS+l)2本題先采用減小分母的

5、兩次放縮，再裂項，最后乂放縮，有的放矢，直達目標(biāo).4、放大或縮小“因式”；1"1例4、已知數(shù)列匕｝滿足a”+]=d；,0VC”,求證：為(色一％】)代+2<—?2k=32證明*.*0

6、lo32本題通過対因式色+2放大，而得到一個容易求和的式子￡（色-色+J，最終得出證明.Jt=l5、逐項放大或縮小例5、設(shè)心=71立+血不+7^+.??

7、+J訕+1）求證:5證明：t』n（n+1）〉Qn(n+l)<2n+12n+11+2+3—+n

8、倒好處。7、利用基本不等式放縮例7、已知?=5—4,證明：不等式應(yīng)；-應(yīng)石>1對任何正整數(shù)""都成立.證明：耍證網(wǎng)打-ylaman>1,只要證5anm>14-aman+2^atnan.因為amn=-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn一20(加+n)+16,故只要證5(5mn-4)〉1+25mn-20(/n+“)+16+2yjaman,即只耍證20/77+20/?-37>2ja/”.因為2y]aman

9、得證.本題通過化簡整理之后，再利用基本不等式由2血肓<勺”+①放人即可.8、先適當(dāng)組合，排序，再逐項比較或放縮例&.已知i,tn、”是正整數(shù)，且