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1、數學物理方法總結第一章復變函數復數的代數式:z=x+iy復數的三角式和指數式:和歐拉公式:{柯西-黎曼方程(或稱為柯西-黎曼條件):{(其中f(z)=u+iv)函數f(z)=u+iv在點及其領域上處處可導,則稱f(z)在點解析.在區(qū)域B上每一點都解析,則稱f(z)是在區(qū)域B上的解析函數.解析函數的性質:1.若函數f(z)=u+iv在區(qū)域B上解析,則(為常數)是B上的兩組正交曲線族.2.若函數在區(qū)域B上解析,則u,v均為B上的調和函數,即例題:已知某解析函數f(z)的實部,求虛部和這個解析函數.解答:由于=2;=-2;則曲線積分法=2x;=-2y.根據C-R條件有:=2y;=2
2、x.于是;湊全微分顯式法由上式可知則易得則顯然不定積分法上面已有=2y;=2x則第一式對y積分,x視為參數,有.上式對x求導有,而由C-R條件可知,從而.故v=2xy+C.第一章復變函數的積分單連通區(qū)域柯西定理如果函數f(z)在閉單連通區(qū)域上解析,則沿上任意一分段光滑閉合閉合曲線l(也可以是的邊界),有.復連通區(qū)域柯西定理如果f(z)是閉復連通區(qū)域上的單值解析函數,則.式中l(wèi)為區(qū)域外邊界線,諸為區(qū)域內邊界線,積分均沿邊界線的正方向進行.即.柯西公式n次求導后的柯西公式第二章冪級數展開冪級數其中,,,,……都是復常數.比值判別法(達朗貝爾判別法)1.若有則收斂,絕對收斂.若極限
3、存在,則可引入記號R,,于是,若,則絕對收斂.2.若,則后項與前項的模之比的極限,即說明發(fā)散.例題:求冪級數的收斂圓,z為復變數.解答:由題意可得故().泰勒級數展開設f(z)在以為圓心的圓內解析,則對圓內的任意z點,f(z)可展為冪級數,,其中,為圓內包含z且與同心的圓.例題:在的領域上將展開解答:函數的各階導數,而.則在的領域上的泰勒展開.雙邊冪級數洛朗級數展開設f(z)在環(huán)形區(qū)域的內部單值解析,則對環(huán)域上的任一點z,f(z)可展為冪級數.其中,積分路徑C為位于環(huán)域內按逆時針方向繞內圓一周的任一閉合曲線.例題1:在的環(huán)域上將展為洛朗級數.解答:例題2:在的領域上將展為洛朗
4、級數.解答:由題意得則有z-1的-1次項,而()故.第一章留數定理留數定理設函數f(z)在回路l所圍區(qū)域B上除有限個孤立奇點,,……,解析,在閉區(qū)域上除,,……,外連續(xù),則.其中,.推論1:單極點的留數為.推論2:若f(z)可以表示為P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在點解析,是Q(z)的一階零點().,則.上式最后一步應用了羅畢達法則.留數定理的應用類型一.作自變量代換.則式子變?yōu)?例題:計算.解答:,Z的單極點為.則,由于不在圓內.故.類型二.積分區(qū)間是;復變函數f(z)在實軸上沒有奇點,在上半平面除了有限個奇點外是解析的;當z在上半平面及實軸上時,z
5、f(z)一致地.則式子可以變?yōu)閧f(z)在上半平面所有奇點的留數之和}.例題:計算.解答:的單極點為.,故.類型三,,積分區(qū)間是;偶函數F(x)和奇函數G(x)在實軸上沒有奇點,在上半平面除了有限個奇點外是解析的;當z在上半平面或實軸上,F(z)及G(z)一致地.則式子可以變?yōu)?.若類型二,類型三的實軸上有有限個奇點,則有.其中,在類型三中f(x)應理解為或.第一章Fourier變換傅里葉級數周期為2l的函數f(x)可以展開為級數.其中,{,={.注:積分上下限只要滿足上-下=2l即可.復數形式的傅里葉級數其中.傅里葉積分傅里葉變換式{復數形式的傅里葉積分{傅里葉變換的性質(
6、1)導數定理F[f’(x)]=iwF(w)(2)積分定理F[]=(3)相似性定理F[f(ax)]=(4)延遲定理F[]=(5)位移定理F[]=(6)卷積定理若F[]=,F[]=,則F[*]=.其中稱為和的卷積.函數{.{.函數的一些性質1.是偶函數.2.{.3..第一章Laplace變換拉普拉斯變換拉普拉斯變換的一些性質(1)線性定理若,,則.(2)導數定理.(3)積分定理L[].(4)相似性定理.(5)位移定理.(6)延遲定理.(7)卷積定理若,,則,其中稱為和的卷積.第一章數學物理定解問題(1)均勻弦的微小振動,均勻桿的縱振動,傳輸線方程,均勻薄膜的微小橫振動,流體力學與
7、聲學方程,電磁波方程的形式為或或.(2)擴散方程,熱傳導方程的形式為或.(3)穩(wěn)定濃度分布,穩(wěn)定溫度分布,靜電場,穩(wěn)定電流場方程的形式為(拉普拉斯方程).(4)以上方程中意為,意為.若以上各方程均為有源,則方程為各方程=f(x,y,z,t).定解條件初始條件初始”位移”,初始”速度”.邊界條件第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件銜接條件.(T為張力)達朗貝爾公式定界問題達朗貝爾公式.其中,.第一章分離變數法泛定方程(若該方程可以使用分離變量法,則可以化成).在不同的邊界條件下解不同.邊界條件(1)
