繞任意軸旋轉(zhuǎn)

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1、幾何變換詳解在三維圖形學(xué)中，幾何變換大致分為三種，平移變換（Translation），縮放變換（Scaling），旋轉(zhuǎn)變換（Rotation）。以下討論皆針對DirectX，所以使用左手坐標(biāo)系。平移變換將三維空間中的一個(gè)點(diǎn)[x,y,z,1]移動(dòng)到另外一個(gè)點(diǎn)[x',y',z',1]，三個(gè)坐標(biāo)軸的移動(dòng)分量分別為dx=Tx,dy=Ty,dz=Tz,即x'=x+Txy'=y+Tyz'=z+Tz平移變換的矩陣如下?？s放變換將模型放大或者縮小，本質(zhì)也是對模型上每個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行放大和縮小（頂點(diǎn)坐標(biāo)值變大或變?。?，假設(shè)變換前的點(diǎn)是[x,y,z,1]，變換后的點(diǎn)是[x',y',z',1]，那么x'=x*Sx

2、y'=y*Syz'=z*Sz縮放變換的矩陣如下。旋轉(zhuǎn)變換這是三種變換中最復(fù)雜的變換，這里只討論最簡單的情況，繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，關(guān)于繞任意軸旋轉(zhuǎn)，在后續(xù)的隨筆中介紹。繞X軸旋轉(zhuǎn)繞X軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，頂點(diǎn)的x坐標(biāo)不發(fā)生變化，y坐標(biāo)和z坐標(biāo)繞X軸旋轉(zhuǎn)θ度，旋轉(zhuǎn)的正方向?yàn)轫槙r(shí)針方向（沿著旋轉(zhuǎn)軸負(fù)方向向原點(diǎn)看）。[x,y,z,1]表示變換前的點(diǎn)，[x',y',z',1]表示變換后的點(diǎn)。變換矩陣如下。關(guān)于旋轉(zhuǎn)的正方向，OpenGL與多數(shù)圖形學(xué)書籍規(guī)定旋轉(zhuǎn)正方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向（沿著坐標(biāo)軸負(fù)方向向原點(diǎn)看），比如ComputerGraphicsCVersion，p409。繞Y軸旋轉(zhuǎn)繞Y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，頂點(diǎn)的y坐標(biāo)不發(fā)生變化

3、，x坐標(biāo)和z坐標(biāo)繞Y軸旋轉(zhuǎn)θ度。[x,y,z,1]表示變換前的點(diǎn)，[x',y',z',1]表示變換后的點(diǎn)。變換矩陣如下。繞Z軸旋轉(zhuǎn)繞Z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，頂點(diǎn)的z坐標(biāo)不發(fā)生變化，x坐標(biāo)和y坐標(biāo)繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ度。[x,y,z,1]表示變換前的點(diǎn)，[x',y',z',1]表示變換后的點(diǎn)。變換矩陣如下。繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的矩陣推導(dǎo)上面三個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣是如何得來的呢？我們推導(dǎo)一下，首先看一下二維的情況，再擴(kuò)展到三維即可。實(shí)際上上面三種繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的情況屬于特殊的二維旋轉(zhuǎn)，比如繞Z軸旋轉(zhuǎn)，相當(dāng)于在與XOY平面上繞原點(diǎn)做二維旋轉(zhuǎn)。假設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，其到原點(diǎn)的距離為r，其與X軸的夾角為A，現(xiàn)將點(diǎn)P

4、繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)θ度，得到點(diǎn)P'(x',y')，P'與X軸的夾角為B，則A=B-θ。（注意，在二維坐標(biāo)中，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)角度為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)角度為負(fù)，下圖中由P旋轉(zhuǎn)到P'，角度為θ，若是由P'轉(zhuǎn)到P，則角度為-θ）。于是可得下面的轉(zhuǎn)換方程（式一）寫成矩陣的形式就是求得旋轉(zhuǎn)矩陣為由于這里使用齊次坐標(biāo)，所以還需加上一維，最終變成如下形式繞Z軸旋轉(zhuǎn)矩陣和前面給出的繞Z軸旋轉(zhuǎn)矩陣完全吻合。對于繞X軸旋轉(zhuǎn)的情況，我們只需將式一中的x用y替換，y用z替換，z用x替換即可。替換后得到(式二)對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為繞X軸旋轉(zhuǎn)矩陣對于繞Y軸旋轉(zhuǎn)的情況，只需對式二做一次同樣的替換即可，的到的變換方程為對應(yīng)的變換矩陣為

5、繞Y軸旋轉(zhuǎn)矩陣逆矩陣平移變換矩陣的逆矩陣與原來的平移量相同，但是方向相反。旋轉(zhuǎn)變換矩陣的逆矩陣與原來的旋轉(zhuǎn)軸相同但是角度相反?？s放變換的逆矩陣正好和原來的效果相反，如果原來是放大，則逆矩陣是縮小，如果原來是縮小，則逆矩陣是放大。==HappyCoding==作者：zdd出處：http://www.cnblogs.com/graphics/繞任意軸旋轉(zhuǎn)繞任意軸旋轉(zhuǎn)的情況比較復(fù)雜，主要分為兩種情況，一種是平行于坐標(biāo)軸的，一種是不平行于坐標(biāo)軸的，對于平行于坐標(biāo)軸的，我們首先將旋轉(zhuǎn)軸平移至與坐標(biāo)軸重合，然后進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，最后再平移回去?！⑿D(zhuǎn)軸平移至與坐標(biāo)軸重合，對應(yīng)平移操作·旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)操作·步

6、驟1的逆過程，對應(yīng)操作整個(gè)過程就是對于不平行于坐標(biāo)軸的，可按如下方法處理。（該方法實(shí)際上涵蓋了上面的情況）1將旋轉(zhuǎn)軸平移至原點(diǎn)2將旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)至YOZ平面3將旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)至于Z軸重合4繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ度5執(zhí)行步驟3的逆過程6執(zhí)行步驟2的逆過程7執(zhí)行步驟1的逆過程假設(shè)用v1(a1,b2,c2)和v2(a2,b2,c2)來表示旋轉(zhuǎn)軸，θ表示旋轉(zhuǎn)角度。為了方便推導(dǎo)，暫時(shí)使用右手系并使用列向量，待得出矩陣后轉(zhuǎn)置一下即可，上面步驟對應(yīng)的流程圖如下。步驟1是一個(gè)平移操作，將v1v2平移至原點(diǎn)，對應(yīng)的矩陣為步驟2是一個(gè)旋轉(zhuǎn)操作，將p(p=v2-v1)旋轉(zhuǎn)至XOZ平面，步驟3也是一個(gè)旋轉(zhuǎn)操作，將p旋轉(zhuǎn)至與Z軸

7、重合，這兩個(gè)操作對應(yīng)的圖如下。做點(diǎn)p在平面YOZ上的投影點(diǎn)q。再過q做Z軸垂線，則r是p繞X軸旋轉(zhuǎn)所得，且旋轉(zhuǎn)角度為α，且,于是旋轉(zhuǎn)矩陣為現(xiàn)在將r繞Y軸旋轉(zhuǎn)至與Z軸重合，旋轉(zhuǎn)的角度為-beta（方向?yàn)轫槙r(shí)針），且,于是得到旋轉(zhuǎn)矩陣為最后是繞Z軸旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)的矩陣如下如果旋轉(zhuǎn)軸是過原點(diǎn)的，那么第一步和最后一步的平移操作可以省略，也就是把中間五個(gè)矩陣連乘起來，再轉(zhuǎn)置一下，得到下面的繞任意軸旋轉(zhuǎn)的矩陣即對應(yīng)的函數(shù)代碼如下。voidRotateArbit