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1、【MeiWei_81重點借鑒文檔】公式及方法大全待定系數(shù)法(因式分解)待定系數(shù)法是數(shù)學中的一種重要的解題方法，應用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應用．在因式分解時，一些多項式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù)．由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項式恒等的性質(zhì)，兩邊對應項系數(shù)應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．常用的因式分解公式：【MeiWei_81重點借鑒文檔】【MeiWei
2、_81重點借鑒文檔】 例1分解因式：R2+3RR+2R2+4R+5R+3． 分析由于 (R2+3RR+2R2)=(R+2R)(R+R)， 若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是R+2R+m和R+R+n的形式，應用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問題得到解決． 解設 R2+3RR+2R2+4R+5R+3 =(R+2R+m)(R+R+n) =R2+3RR+2R2+(m+n)R+(m+2n)R+mn， 比較兩邊對應項的系數(shù)，則有 解之得m=3，n=1．所以原式=(R+2R+3)(R+R+1)． 說明本題也可用雙十字相乘法，請同學們自己解
3、一下． 例2分解因式：R4-2R3-27R2-44R+7．【MeiWei_81重點借鑒文檔】【MeiWei_81重點借鑒文檔】 分析本題所給的是一元整系數(shù)多項式，根據(jù)前面講過的求根法，若原式有有理根，則只可能是±1，±7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式．如果原式能分解，只能分解為(R2+aR+b)(R2+cR+d)的形式． 解設 原式=(R2+aR+b)(R2+cR+d) =R4+(a+c)R3+(b+d+ac)R2+(ad+bc)R+bd， 所以有 由bd=7，先考慮b=1，d=7有 所
4、以 原式=(R2-7R+1)(R2+5R+7)． 說明由于因式分解的唯一性，所以對b=-1，d=-7等可以不加以考慮．本題如果b=1，d=7代入方程組后，無法確定a，c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止． 本題沒有一次因式，因而無法運用求根法分解因式．但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式．由此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地．求根法(因式分解)【MeiWei_81重點借鑒文檔】【MeiWei_81重點借鑒文檔】我們把形如anRn+an-1Rn-1+…+a1R+a0(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于R的一元多項式，
5、并用f(R)，g(R)，…等記號表示，如 f(R)=R2-3R+2，g(R)=R5+R2+6，…， 當R=a時，多項式f(R)的值用f(a)表示．如對上面的多項式f(R) f(1)=12-3× 我們把形如anRn+an-1Rn-1+…+a1R+a0(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于R的一元多項式，并用f(R)，g(R)，…等記號表示，如 f(R)=R2-3R+2，g(R)=R5+R2+6，…， 當R=a時，多項式f(R)的值用f(a)表示．如對上面的多項式f(R) f(1)=12-3×1+2=0； f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=
6、12． 若f(a)=0，則稱a為多項式f(R)的一個根． 定理1(因式定理)若a是一元多項式f(R)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(R)有一個因式R-a．【MeiWei_81重點借鑒文檔】【MeiWei_81重點借鑒文檔】 根據(jù)因式定理，找出一元多項式f(R)的一次因式的關(guān)鍵是求多項式f(R)的根．對于任意多項式f(R)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(R)的系數(shù)都是整數(shù)時，即整系數(shù)多項式時，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根． 定理2 的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)．特別地，當a0=1時，整系數(shù)多項式f(R)
7、的整數(shù)根均為an的約數(shù)． 我們根據(jù)上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進行因式分解． 例2分解因式：R3-4R2+6R-4． 分析這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個檢驗-4的約數(shù)：±1，±2，±4，只有 f(2)=23-4×22+6×2-4=0， 即R=2是原式的一個根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式R-2． 解法1用分組分解法，使每組都有因式(R-2)． 原式=(R3-2R2)-(2R2-4R)+(2R-4) =R2(R-2)-2R(R-2)+2(R-2)【MeiWei_81重點借鑒
8、文檔】【MeiWei_81重點借鑒文檔】 =(R-2)(R2-2R+2)．
