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1、智浪教育--普惠英才文庫高中物理競賽——振動與波習(xí)題一、簡諧運(yùn)動的證明與周期計(jì)算物理情形：如圖5所示，將一粗細(xì)均勻、兩邊開口的U型管固定，其中裝有一定量的水銀，汞柱總長為L。當(dāng)水銀受到一個初始的擾動后，開始在管中振動。忽略管壁對汞的阻力，試證明汞柱做簡諧運(yùn)動，并求其周期。模型分析：對簡諧運(yùn)動的證明，只要以汞柱為對象，看它的回復(fù)力與位移關(guān)系是否滿足定義式①，值得注意的是，回復(fù)力系指振動方向上的合力（而非整體合力）。當(dāng)簡諧運(yùn)動被證明后，回復(fù)力系數(shù)k就有了，求周期就是順理成章的事。本題中，可設(shè)汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時(shí)位移為x、水銀密度為ρ、U型
2、管橫截面積為S，則次瞬時(shí)的回復(fù)力ΣF=ρg2xS=x由于L、m為固定值，可令：=k，而且ΣF與x的方向相反，故汞柱做簡諧運(yùn)動。周期T=2π=2π答：汞柱的周期為2π。學(xué)生活動：如圖6所示，兩個相同的柱形滾輪平行、登高、水平放置，繞各自的軸線等角速、反方向地轉(zhuǎn)動，在滾輪上覆蓋一塊均質(zhì)的木板。已知兩滾輪軸線的距離為L、滾輪與木板之間的動摩擦因素為μ、木板的質(zhì)量為m，且木板放置時(shí)，重心不在兩滾輪的正中央。試證明木板做簡諧運(yùn)動，并求木板運(yùn)動的周期。思路提示：找平衡位置（木板重心在兩滾輪中央處）→力矩平衡和ΣF6=0結(jié)合求兩處彈力→求摩擦力合力…答案
3、：木板運(yùn)動周期為2π。鞏固應(yīng)用：如圖7所示，三根長度均為L=2.00m地質(zhì)量均勻直桿，構(gòu)成一正三角形框架ABC，C點(diǎn)懸掛在一光滑水平軸上，整個框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動。桿AB是一導(dǎo)軌，一電動松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動?，F(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動，而框架卻靜止不動，試討論松鼠的運(yùn)動是一種什么樣的運(yùn)動。智浪教育--普惠英才文庫解說：由于框架靜止不動，松鼠在豎直方向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。設(shè)松鼠的質(zhì)量為m，即：N=mg①再回到框架，其靜止平衡必滿足框架所受合力矩為零。以C點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，形成力矩的只有松鼠的壓力N、和松鼠可能加速的靜摩擦力f，它們合
4、力矩為零，即：MN=Mf現(xiàn)考查松鼠在框架上的某個一般位置（如圖7，設(shè)它在導(dǎo)軌方向上距C點(diǎn)為x），上式即成：N·x=f·Lsin60°②解①②兩式可得：f=x，且f的方向水平向左。根據(jù)牛頓第三定律，這個力就是松鼠在導(dǎo)軌方向上的合力。如果我們以C在導(dǎo)軌上的投影點(diǎn)為參考點(diǎn)，x就是松鼠的瞬時(shí)位移。再考慮到合力與位移的方向因素，松鼠的合力與位移滿足關(guān)系——=－k其中k=，對于這個系統(tǒng)而言，k是固定不變的。顯然這就是簡諧運(yùn)動的定義式。答案：松鼠做簡諧運(yùn)動。評說：這是第十三屆物理奧賽預(yù)賽試題，問法比較模糊。如果理解為定性求解，以上答案已經(jīng)足夠。但考慮到原
5、題中還是有定量的條件，所以做進(jìn)一步的定量運(yùn)算也是有必要的。譬如，我們可以求出松鼠的運(yùn)動周期為：T=2π=2π=2.64s。二、典型的簡諧運(yùn)動1、彈簧振子物理情形：如圖8所示，用彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連著一個質(zhì)量為m的小球，置于傾角為θ的光滑斜面上。證明：小球在彈簧方向的振動為簡諧運(yùn)動，并求其周期T。學(xué)生自己證明…。周期T=2π模型分析：這個結(jié)論表明，彈簧振子完全可以突破放置的方向而伸展為一個廣義的概念，且伸展后不會改變運(yùn)動的實(shí)質(zhì)。其次，我們還可以這樣拓展：把上面的下滑力換程任何一個恒力（如電場力），它的運(yùn)動性質(zhì)仍然不會改變。當(dāng)然，這里的運(yùn)動
6、性質(zhì)不變并不是所有運(yùn)動參量均不改變。譬如，振子的平衡位置、振動方程還是會改變的。下面我們看另一類型的拓展——物理情形：如圖9所示，兩根相同的彈性系數(shù)分別為k1和k2的輕質(zhì)彈簧，連接一個質(zhì)量為m的滑塊，可以在光滑的水平面上滑動。試求這個系統(tǒng)的振動周期T。智浪教育--普惠英才文庫解說：這里涉及的是彈簧的串、并聯(lián)知識綜合。根據(jù)彈性系數(shù)的定義，不難推導(dǎo)出幾個彈性系數(shù)分別為k1、k2、…、kn的彈簧串、并聯(lián)后的彈性系數(shù)定式（設(shè)新彈簧系統(tǒng)的彈性系數(shù)為k）——串聯(lián)：=并聯(lián)：k=在圖9所示的情形中，同學(xué)們不難得出：T=2π當(dāng)情形變成圖10時(shí)，會不會和圖9一
7、樣呢？詳細(xì)分析形變量和受力的關(guān)系，我們會發(fā)現(xiàn)，事實(shí)上，這時(shí)已經(jīng)變成了彈簧的并聯(lián)。答案：T=2π。思考：如果兩個彈簧通過一個動滑輪（不計(jì)質(zhì)量）再與質(zhì)量為m的鉤碼相連，如圖11所示，鉤碼在豎直方向上的振動周期又是多少？解：這是一個極容易出錯的變換——因?yàn)閳D形的外表形狀很象“并聯(lián)”。但經(jīng)過仔細(xì)分析后，會發(fā)現(xiàn)，動滑輪在這個物理情形中起到了重要的作用——致使這個變換的結(jié)果既不是串聯(lián)、也不是并聯(lián)。★而且，我們前面已經(jīng)證明過，重力的存在并不會改變彈簧振子的振動方程，所以為了方便起見，這里（包括后面一個“在思考”題）的受力分析沒有考慮重力。具體分析如下：設(shè)
8、右邊彈簧的形變量為x2、滑輪（相對彈簧自由長度時(shí)）的位移為x、鉤子上的拉力為F，則k1x1=k2x2x=F=2k2x2解以上三式，得到：F=x，也就是說，彈簧系統(tǒng)新的彈性系數(shù)k=
