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《點集拓?fù)鋵W(xué)教案》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、點集拓?fù)鋵W(xué)教案為聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)三年級本科生開設(shè)《點集拓?fù)洹氛n程。按熊金城《點集拓?fù)渲v義》(第三版,北京:高等教育出版社,2003)第一至七章編寫的教案。本科生授課64學(xué)時，教學(xué)內(nèi)容與進度安排如下：章節(jié)本科生授課主要內(nèi)容課時數(shù)備注拓?fù)鋵W(xué)的起源1一樸素集合論21.1集合、映射與關(guān)系11.2無限集1二拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射21習(xí)題課時22.1度量空間與連續(xù)映射3不講附錄2.2拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射32.3鄰域與鄰域系2不講定理2.3.32.4導(dǎo)集、閉集、閉包內(nèi)部、邊界3不講例2.4.4,定理2.4.82.5內(nèi)部、邊界22.6基與子基2部分證明定理2.6.3，臨域基及
2、相關(guān)內(nèi)容在5.1中介紹2.7拓?fù)淇臻g中的序列2三子空間、有限積空間、商空間6習(xí)題課時13.1子空間23.2積空間23.3商空間1例3.3.3起不講四連通性8習(xí)題課時14.1連通空間24.2連通性的某些簡單應(yīng)用14.3連通分支14.4局部連通空間24.5道路連通空間1道路連通分支不講五有關(guān)可數(shù)性的公理6習(xí)題課時15.1第一與第二可數(shù)性公理2525.2可分空間1.5定理5.2.1不講5.3Lindeloff空間1.5六分離性公理8習(xí)題課時1.56.1、Hausdorff空間26.2正則、正規(guī)、空間1.5例6.2.2講部分6.3Urysohn引理和Tietze擴張定理1不講定理6.
3、3.1,6.3.4的證明6.4完全正則空間,Tychonoff空間16.5分離性公理與子空間、積空間和商空間16.6可度量化空間1定理6.6.1講部分七緊致性10習(xí)題課時17.1緊致性3定理7.1.6講部分7.2緊致性與分離性公理1引理7.3.2用分析中的結(jié)論7.3n維歐氏空間中的緊致子集0.57.4幾種緊致性以及其間的關(guān)系1.57.5度量空間中的緊致性17.6局部緊致空間,仿緊致空間1定理7.6.8不講52第一章樸素集合論點集拓?fù)鋵W(xué)(Point-setTopology)現(xiàn)稱一般拓?fù)鋵W(xué)(GeneralTopology),它的起源與出發(fā)點都是集合論.作為基本的點集拓?fù)鋵W(xué)知識,所
4、需的只是一些樸素集合論的預(yù)備知識.本章介紹本書中要用到的一些集合論內(nèi)容,主要涉及集合及集族的運算、等價關(guān)系、映射、可數(shù)集、選擇公理等.作為一教材,講義對各部分內(nèi)容均有較系統(tǒng)的論述,作為授課,我們只強調(diào)一些基本內(nèi)容,而對已有過了解的知識不提或少提.記號:Z,Z+,R,Q分別表示整數(shù)集,正整數(shù)集,實數(shù)集和有理數(shù)集.教學(xué)重點：集合的基本概念、運算，映射的概念；教學(xué)難點：選擇公理一.集合的運算冪集P,交∩、并∪、差－(補,余).運算律:DeMorgan律:(1).(2)A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)利用集合的包含關(guān)系證明(1).類似可定義任意有限個集的交或并,如記Ai.規(guī)定0
5、個集之并是,不用0個集之交.二.關(guān)系R是集合的一個關(guān)系,即記為,稱x與y是R相關(guān)的.R稱為自反的,若,xRx;R稱為對稱的,若xRy,則yRx;R稱為傳遞的,若xRy,yRz,則xRz.等價關(guān)系:自反、對稱、傳遞的關(guān)系.如,Δ(X)={(x,x)
6、xX},恒同關(guān)系,它是等價關(guān)系;，小于關(guān)系,它是傳遞的,但不是對稱的、不是自反的.設(shè)R是X上等價關(guān)系,",x的R等價類或等價類或[x]為,的元稱為的代表元;商集.定理1.4.1設(shè)R是非空集合X的等價關(guān)系,則52(1)";(2)，或者[x]R=[y]R,或者證(2).設(shè),則,于是且,于是.三.映射函數(shù)：.像：；原像：滿射、單射、一一映
7、射(雙射)、可逆映射、常值映射、恒同映射、限制、擴張、內(nèi)射集合,笛卡兒積到第個坐標(biāo)集的投射定義為,其中.對等價關(guān)系集合到商集的自然投射定義為.四.集族數(shù)列,有標(biāo)集族,指標(biāo)集Γ,與不同,可記有標(biāo)集族A;類似地,定義其并(或∪A)、交(或∩A),不定義0個集的交.與有限集族有相同的運算律,如DeMorgan律,映射對應(yīng)的集族性質(zhì):,五.無限集通過一一映射來確定兩集合的個數(shù)的多少.有限集(或與某{1,2,…,n}有一一映射),無限集,可數(shù)集(或存在到Z+的單射),不可數(shù)集.易驗證:有限集是可數(shù)集,可數(shù)集的子集是可數(shù)集,可數(shù)集的映像是可數(shù)集.定理1.7.3是可數(shù)集是Z+的映像.52由
8、此,Q是可數(shù)集,兩可數(shù)集的笛卡兒積集是可數(shù)集,可數(shù)個可數(shù)集之并集是可數(shù)集.定理1.7.8R是不可數(shù)集.利用Cantor對角線法證明開區(qū)間(0,1)中的實數(shù)不可數(shù).直觀上,集合A中元素的個數(shù)稱為該集合的基數(shù),記為cardA,或
9、A
10、.
11、Z+
12、=,
13、R
14、=.若存在從集合A到集合B的單射,則定義
15、A
16、≤
17、B
18、.連續(xù)統(tǒng)假設(shè):不存在基數(shù),使得à.選擇公理:若A是由非空集構(gòu)成的集族,則"A,可取定.由選擇公理可證明,若是基數(shù),則下述三式中有且僅有一成立:52第二章拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射本章是點集拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)中之基礎(chǔ),從度
