函數(shù)泰勒展開式的應(yīng)用【文獻綜述】

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1、畢業(yè)論文文獻綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)函數(shù)泰勒展開式的應(yīng)用1、本課題研究的意義多項式是最簡單的函數(shù)。因為多項式函數(shù)的運算只有加、減、乘三種運算。如果能將有理分式函數(shù)，特別是無理函數(shù)和初等超越函數(shù)用多項式函數(shù)近似代替，而誤差又能滿足要求，顯然，這對函數(shù)性態(tài)的研究和函數(shù)值的近似計算都有重要意義。通過對數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)，我感覺到泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，在各個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如在函數(shù)值估測及近似計算，用多項式逼近函數(shù)，求函數(shù)的極限和定積分不等式、等式的證明，求函數(shù)在某點的高階導(dǎo)數(shù)值等方面。除此以外，泰勒公式及泰勒級數(shù)的應(yīng)用，往往能峰回路轉(zhuǎn)，使問題變得簡單易解。2、目前國內(nèi)的研

2、究現(xiàn)狀本人以1999—2010十一年為時間范圍，以“泰勒公式”“泰勒公式的應(yīng)用”、為關(guān)鍵詞，在中國知網(wǎng)以及萬方數(shù)據(jù)等數(shù)據(jù)庫中共搜索到30余篇文章，發(fā)現(xiàn)國內(nèi)外對泰勒公式及其研究進展主要分配在:1、帶不同型余項泰勒公式的證明；2、泰勒公式的應(yīng)用舉例。3、本課題的研究方向和重點泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的一個重要的內(nèi)容,但一般高數(shù)教材中僅介紹了如何用泰勒公式展開函數(shù),而對泰勒公式的應(yīng)用方法并未進行深入討論在高等數(shù)學(xué)教材中,一般只講泰勒公式,對其在解題中的應(yīng)用介紹很少。但泰勒公式在解決一些問題中確實有十分重要的作用。一、帶不同型余項泰勒公式的證明，即：1.帶皮亞諾余項的泰勒公式；2.帶

3、拉格朗日余項的泰勒公式；3.帶積分型余項的泰勒公式的證明。二、泰勒公式的應(yīng)用舉例。本次論文將涉及到泰勒公式在以下七個方面的應(yīng)用：1、泰勒公式在極限計算中的應(yīng)用；在函數(shù)極限運算中,不定式極限的計算始終為我們所注意,因為這是比較困難的一類問題。計算不定式極限我們常常使用洛必達法則或者洛必達法則與等價無窮小結(jié)合使用。但對于有些未定式極限問題若采用泰勒公式求解,會更簡單明了。我將在論文中就例題進行探討。2、泰勒公式在判定級數(shù)及廣義積分斂散性中的應(yīng)用；泰勒公式是微分學(xué)中值定理推廣。然而它在判斷級數(shù)和廣義積分的斂散性中的應(yīng)用則很少提及,事實上,它在這方面的應(yīng)用起著不可替代的作用,我將

4、通過應(yīng)用泰勒公式對無窮小量或無窮大量的階進行估計,尋找簡便有效的判定級數(shù)及廣義積分的斂散性的方法。3、泰勒公式在行列式中的應(yīng)用；函數(shù)的泰勒公式在數(shù)值計算及數(shù)學(xué)論中占有很重要的地位,我將通過借助于羅爾定理及函數(shù)的泰勒多項式的行列式表示,給出兩個函數(shù)之間的泰勒公式的關(guān)系,借助于這種關(guān)系給出其應(yīng)用4、泰勒公式在近似計算中的應(yīng)用；利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計算式和一些數(shù)值的近似計算，利用麥克勞林展開得到函數(shù)的近似計算式，余項應(yīng)當以拉格朗日型表達，以便于誤差的估計。5、泰勒公式在證明等式、不等式中的應(yīng)用；對于一般不等式，泰勒公式可適用于題設(shè)中函數(shù)具有二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)，且最高

5、階導(dǎo)數(shù)的大小或上下界可知的命題；對于積分不等式上，泰勒公式適用于已知被積函數(shù)二階和二階以上可導(dǎo)，且又知最高階導(dǎo)數(shù)的符號的類型題目；對于積分等式，泰勒公式適用于被積函數(shù)具有二階或二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)的命題。6、泰勒公式在求初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式中的應(yīng)用；利用基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式，可通過加減乘等運算進而可以求得一些較復(fù)雜的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式。7、泰勒公式在函數(shù)凹凸性及拐點判斷中的應(yīng)用。4、本課題研究所存在的問題泰勒公式不僅僅可以用來判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值，也可嘗試利用它來研究函數(shù)的凹凸性及判斷拐點。同時，在利用泰勒公式對函數(shù)極值的判定時，可以相似地推出函數(shù)拐點的判定。本

6、次論文所設(shè)定的擬解決的關(guān)鍵問題和難點是：在解題中怎么分析題設(shè)條件及其形式特點,并把握處理規(guī)則,如何比較好地利用泰勒公式來提高解題的技巧，如何對泰勒公式的證明和七個應(yīng)用做一個系統(tǒng)的歸納和總結(jié)。5、參考文獻[1]陳曉萌.泰勒公式在不等式中的應(yīng)用[J].昌濰師專學(xué)報,2000,(02).[2]趙臨龍.多項式的泰勒展開式的應(yīng)用[J].高師理科學(xué)刊,2008,(05).[3]王新,任佩文.泰勒展開式不同形式的各種應(yīng)用[J].高等函授學(xué)報(自然科學(xué)版),2009,(01).[4]安麗微.泰勒公式及其應(yīng)用[J].素質(zhì)教育論壇,2009,(03).[5]程龍生;謝莉;馮予;;Taylor

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