凸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用【文獻綜述】

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1、畢業(yè)論文文獻綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)凸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用凸函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中一類非常重要的函數(shù),它不僅在一些具體學(xué)科,如機器人學(xué),模具設(shè)計或一些數(shù)學(xué)分支(如全局優(yōu)化，運籌學(xué)等)中具有重要的應(yīng)用,在具體的數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)中也有重要的應(yīng)用.我們在華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編的數(shù)學(xué)分析書上冊的第六章第五節(jié)學(xué)習(xí)了凸函數(shù)的有關(guān)定義和性質(zhì).在該書中對凸函數(shù)的定義敘述為:定義1[1]設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù),若對I上的任意兩點,和任意實數(shù)（0,1）總有:,則稱f為I上的凸函數(shù).幾何形狀如下圖所示:根據(jù)凸函數(shù)的定義和相關(guān)引理,我們可以得出關(guān)于二

2、階可導(dǎo)凸函數(shù)的一個重要的充要條件：定理2[1]設(shè)f為區(qū)間I上的二階可導(dǎo)函數(shù),則在I上f為凸函數(shù)的充要條件是:,.從凸函數(shù)的定義,圖像,充要條件上,我們可以看到凸函數(shù)有其本身的特殊性和直觀性,而這些性質(zhì)對于證明某些較復(fù)雜的不等式,解答高中里的數(shù)學(xué)題目均有很大的幫助.國內(nèi)外現(xiàn)狀與研究方向：由于凸函數(shù)在數(shù)學(xué)上的廣泛應(yīng)用,國內(nèi)外越來越多的學(xué)者專注于對凸函數(shù)各個方面的研究.首先,在凸函數(shù)的眾多研究課題當(dāng)中,對其基本定義和性質(zhì)的研究最為廣泛和普遍.研究的主要內(nèi)容包括凸函數(shù)及對其概念的理解,等價定義,判別法,它的線形性[華

3、東師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析上冊(第三版)就對凸函數(shù)的概念和定義作了詳細的說明].除了對凸函數(shù)原有性質(zhì)的研究之外,對其新性質(zhì)的研究也使研究者們趨之若鶩.目前越來越多的學(xué)者專注于凸函數(shù)的若干新性質(zhì)在求解線性與非線性不等式組和線性規(guī)劃中的應(yīng)用,尋找求解線性與非線性不等式組的新方法.2其次,在對凸函數(shù)的定義和性質(zhì)有了充分研究的前提下,研究者們更加關(guān)注對凸函數(shù)的應(yīng)用的研究.例如研究其與不等式證明有關(guān)的下凸函數(shù)的性質(zhì)[邱忠文,劉瑞金.函數(shù)的凹凸性及不等式的證明;王新奇.利用函數(shù)的凹凸性證明一類三角不等式];利用Jenven不等

4、式證明當(dāng)n取任意自然數(shù)時該性質(zhì)的推廣;在不等式中的應(yīng)用[于靖.利用曲線的凹凸性證明柯西不等式];凸函數(shù)與極值,導(dǎo)數(shù)的一些關(guān)系[裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法;孫本旺,汪浩.數(shù)學(xué)分析中的典型例題和方法];判斷函數(shù)極值點與拐點等應(yīng)用.凸函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的研究也是一大亮點:由于凸函數(shù)是一類象形函數(shù),在高中課程中雖然沒有明確引入它的定義和概念,但因其性質(zhì)具有明顯的直觀性,可以考查學(xué)生的觀察能力和知識遷移能力,又可考查函數(shù)的各種性質(zhì),還能使平淡的題目增色,所以近年來已受高考命題人的青睞.初等函數(shù)基本都是凸函數(shù),研究

5、凸函數(shù)性質(zhì)的縱向和橫向的發(fā)散應(yīng)用[方良秋.高考題中凸函數(shù)的題型及應(yīng)用].最后,隨著凸函數(shù)的凸性在數(shù)學(xué),物理學(xué),經(jīng)濟學(xué),管理學(xué),最優(yōu)化理論等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,對凸函數(shù)的凸性的進一步研究已成為眾多學(xué)者密切關(guān)注的一個焦點,而由凸集和凸函數(shù)拓展延伸而產(chǎn)生的各類凸集和凸函數(shù)的不斷出現(xiàn),不僅極大地豐富了凸分析理論,而且有力地推動了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展,特別是對數(shù)學(xué)規(guī)劃,控制論,最優(yōu)化等領(lǐng)域的發(fā)展起到巨大的作用,也引起了眾多學(xué)者的密切關(guān)注和極大興趣[鐘偉,周彬林.凸函數(shù)的幾種不同定義及應(yīng)用].進展情況：一開始時,凸函數(shù)的重要作用被

6、認為是在一些具體學(xué)科,如機器人學(xué),模具設(shè)計或一些數(shù)學(xué)分支(如全局優(yōu)化,運籌學(xué)等)中的應(yīng)用.但隨著對凸函數(shù)橫向和縱向研究的逐漸深入,研究者們越來越意識到凸函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個重要概念,它涉及了許多數(shù)學(xué)命題的討論證明和應(yīng)用.例如由重慶師范大學(xué)羅超群學(xué)者所寫的《凸函數(shù)在分析中的初探》就詳細得探討了凸函數(shù)的線形性和凸函數(shù)與極值,倒數(shù)的一些關(guān)系;由中國科學(xué)院計算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計算研究所時貞軍學(xué)者和曲阜師范大學(xué)運籌與管理學(xué)院岳麗學(xué)者所寫的《凸函數(shù)的若干新性質(zhì)及應(yīng)用》則詳細討論凸函數(shù)的性質(zhì)在求解線性與非線性不等式組和線性

7、規(guī)劃中的應(yīng)用,為線性與非線性不等式組,線性規(guī)劃的求解提供了一種新方法;由井岡山職業(yè)技術(shù)學(xué)院的晏忠紅學(xué)者所寫的《凸函數(shù)的應(yīng)用》則對用凸函數(shù)方法和凸函數(shù)詹生不等式推證幾種重要的不等式作出了討論;由湖南省汨羅市第二中學(xué)的劉正良和宋加文老師則在《凸函數(shù)理論及應(yīng)用策略》中描述了凸函數(shù)在初高中數(shù)學(xué)學(xué)科中的具體應(yīng)用.總之,學(xué)者們對凸函數(shù)各方面的研究是趨之若鶩,使得凸函數(shù)在各方面的應(yīng)用也越來越深入.存在問題：現(xiàn)階段關(guān)于凸函數(shù)主要存在三個方面的問題:（1）在一元微積分的教學(xué)里,函數(shù)的凹凸性的的概念卻往往被忽視.在一些工科類的微

8、積分教材中,對于函數(shù)的凹凸性的判斷甚至就簡單地通過比較函數(shù)圖像和其切線(或割線)的上下位置關(guān)系來描述.（2）對二元凸函數(shù)的性質(zhì)研究較少.(3)對于凸函數(shù)的定義和基本性質(zhì)的介紹比較分散,跨度大.參考文獻：2[1]華東師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析上冊（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006：119-125.[2]雷瀾.凸函數(shù)的性質(zhì)與不等式證明[N].渝州大學(xué)學(xué)報,2000,17(4):19-21.[3]裴