開孔板問題

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1、開孔板的問題（應力集中的問題）一.引言應力集中即Stressconcentration，是指受力構(gòu)件由于外界因素或自身因素幾何形狀、外形尺寸發(fā)生突變而引起局部范圍內(nèi)應力顯著增大的現(xiàn)象。在彈性力學中，這是一類問題，應力在固體局部區(qū)域內(nèi)顯著增高的現(xiàn)象。多出現(xiàn)于尖角、孔洞、缺口、溝槽以及有剛性約束處及其鄰域。應力集中會引起脆性材料斷裂；使物體產(chǎn)生疲勞裂紋。在應力集中區(qū)域，應力的最大值（峰值應力）與物體的幾何形狀和加載方式等因素有關。局部增高的應力值隨與峰值應力點的間距的增加而迅速衰減。由于峰值應力往往超過屈服極限而造成應力的重新分配，所以，實際的峰值應力常低于按彈性力學計算

2、出的理論峰值應力。反映局部應力增高程度的參數(shù)稱為應力集中系數(shù)k，它是峰值應力與不考慮應力集中時的應力的比值，恒大于1且與載荷大小無關。二．產(chǎn)生應力集中的原因構(gòu)件中產(chǎn)生應力集中的原因主要有：(1)截面的急劇變化。如：構(gòu)件中的油孔、鍵槽、缺口、臺階等。(2)受集中力作用。如：齒輪輪齒之間的接觸點，火車車輪與鋼軌的接觸點等。(3)材料本身的不連續(xù)性。如材料中的夾雜、氣孔等。(4)構(gòu)件中由于裝配、焊接、冷加工、磨削等而產(chǎn)生的裂紋。(5)構(gòu)件在制造或裝配過程中，由于強拉伸、冷加工、熱處理、焊接等而引起的殘余應力。這些殘余應力疊加上工作應力后，有可能出現(xiàn)較大的應力集中。(6)構(gòu)件

3、在加工或運輸中的意外碰傷和刮痕。三．彈性力學中的應力集中1.工程結(jié)構(gòu)中常開設孔口最簡單的為圓孔。彈性力學研究‘小孔口問題’，應符合(1)孔口尺寸＜＜彈性體尺寸，孔口引起的應力擾動局限于小范圍內(nèi)。(2)孔邊距邊界較遠（＞1.5倍孔口尺寸）孔口與邊界不相互干擾。當彈性體開孔時,在小孔口附近,將發(fā)生應力集中現(xiàn)象。2.孔邊應力集中：孔邊附近區(qū)域應力發(fā)生局部增大的現(xiàn)象。特點：.（1）.孔邊周圍應力局部增大（應力重新分布）（2）.集中是在一定范圍內(nèi)，是局部現(xiàn)象，超過一定距離就無影響。（3）.集中同孔的形狀有關，與孔的大小無關。3、1.帶小圓孔的矩形板，四邊受均布拉力q，圖(a)。

4、將外邊界改造成為圓邊界，作則有內(nèi)邊界條件為利用圓環(huán)的軸對稱解答，取且R＞＞r，則得應力解答：最大應力發(fā)生在孔邊所以應力集中系數(shù)為2。2、帶小圓孔的矩形板.x,y向分別受拉壓力,圖(b)。3、作圓，求出外邊界條件為內(nèi)邊界條件為應用半逆解法求解(非軸對稱問題):由邊界條件,假設由關系,假設,所以設代入相容方程除去，為歐拉方程，得解前面給出的邊界條件為：(b)(c)校核邊界條件(b),(c),求出A,B,C,D，得應力解答：在孔邊，最大、最小應力為，應力集中系數(shù)為3、帶小圓孔的矩形板，只受x向均布拉力q。(1)疊加原理(2)(2)應用疊加原理(此時令)，得應力解答:討論：(

5、1)孔邊應力最大應力3q，最小應力-q(2)y軸上應力，=遠處=可見,距孔邊1.5D處,由于孔口引起的應力擾動<5%。3)x軸上應力=遠處=同樣,距孔邊1.5D處,由于孔口引起的應力擾動<5%。4、小孔口的應力集中現(xiàn)象(1)集中性--孔口附近應力>>遠處的應力，孔口附近應力>>無孔時的應力。(2)局部性--應力集中區(qū)域很小，約在距孔邊1.5倍孔徑(D)范圍內(nèi)。此區(qū)域外的應力擾動，一般<5%。(3)凹角的角點應力高度集中,曲率半徑愈小,應力愈大。5、一般小孔口問題的分析：(1)假設無孔，求出結(jié)構(gòu)在孔心處的2)求出孔心處主應力。(3)在遠處的均勻應力場的作用下,求出孔口附

6、近的應力6、其他小孔口問題的解答應用彈性力學問題的復變函數(shù)解法，已經(jīng)解出許多各種形狀的小孔口問題的解答。這是一種求解彈性力學解答的解析方法，它將復變函數(shù)的實部和虛部(均為實函數(shù))分別表示彈性力學的物理量，將彈性力學的相容方程(重調(diào)和方程)也化為復變函數(shù)方程，并結(jié)合邊界條件進行求解。四.降低應力集中的方法工程中常用以下幾種方法來降低應力集中程度：1.修改應力集中因素的形狀(1)用圓角代替尖角。將尖角改為圓角，能有效地緩和應力集中程度。一般來講，圓角的曲率半徑在可能的范圍內(nèi)愈大愈好。(2)采用流線形或拋物線形的表面過渡。有時圓角并不對應于最小的應力集中，如果采用流線形變化

7、的截面，效果會更好。為了縮短流線形表面的變化長度，可以采用拋物線形表面過渡。(3)用橢圓孔代替圓孔。在保證構(gòu)件正常工作的情況下，如果將圓孔改為橢圓孔，往往能提高構(gòu)件的強度。例如，將圖2所示的受拉平板中的圓孔改為橢圓孔，如圖6所示，則橢圓孔邊A點的應力集中系數(shù)為(5)當時，由(5)式可得，比圓孔（）時的降低了。由于橢圓孔難以加工，因此，工程上常簡單地用兩個圓弧來代替橢圓孔。