張彬斌定稿論文

《張彬斌定稿論文》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。

1、中值定理與不等式作者：張彬斌指導(dǎo)老師：胡學(xué)平摘要：不等式的證明是數(shù)學(xué)分析屮的常見問題，本文主要討論應(yīng)用微分中值定理對(duì)不等式證明的應(yīng)用.微分中值定理包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理以及積分中值定理,在這里主要分析這三種中值定理之間的關(guān)系及其在不等式證明、函數(shù)單調(diào)性、凹凸性中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：不等式中值定理單調(diào)性的應(yīng)用凹凸性的應(yīng)用1引言關(guān)于羅爾中值定理、拉格朗LI中值定理以及柯西中值定理的證明和應(yīng)用冇許多專門的研究，利用微分屮值定理證明不等式有許多方便之處，本文主要介紹如何利用它來分析證明一些常見的不等式.2基本概念定理2

2、.1羅爾中值定理若函數(shù)/滿足如下條件：(1)/在閉區(qū)間［⑦們上連續(xù)；(2)/在開區(qū)間(d,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)/(?)=/(/?),則在內(nèi)至少存在一纟點(diǎn)，使得佗)=0(1)證明：因?yàn)?在［a9b］±.連續(xù)，所以冇最大值與最小值,分別用M與加表示，現(xiàn)分兩種情況來討論：①若m=M,則/在［a,b］上必為常數(shù)，從而結(jié)論成立.②若m

3、將不i定成立.羅爾中值定理的兒何意義是:在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上,如果曲線的兩端高，則至少存在一條水平線.定理2.2拉格朗口中值定理若函數(shù)/滿足如下條件：(0/在閉區(qū)間［Q,b］上連續(xù)；⑵/在開區(qū)間(d,b)內(nèi)可導(dǎo);則在至少存在一點(diǎn)使得b-a顯然，特別當(dāng)/(d)=f(h)時(shí)，木定理的結(jié)論即為羅爾中值定理的結(jié)論，這表明羅爾中值定理是拉格朗R'11值定理的一個(gè)特殊情形.證明：作輔助函數(shù)b-a心一。)顯然,F(d)=F(b)(=0)，且F在［a,b］上滿足羅爾中值定理的另兩個(gè)條件.故存在兵，使得b-a移項(xiàng)后即得到所耍證

4、明的(2)式.拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿足定理?xiàng)l件的曲線y=/(x)上至少存在一點(diǎn)pH,該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端的連線AB,我們?cè)谧C明中引入的輔助函數(shù)，正是曲線=/(%)與直線AB()，=/?)+型二皿?Cr—d))Z差.b-a定理L2的結(jié)論(公式(2))稱為拉格朗日公式.拉格朗H公式還有下面兒種等價(jià)表示形式：f(b)-f(a)=廠?3-°),°v§v加(3)=f'(a+e(b-ay)(b-a),0

5、還是a>b都成立，而§則是介于Q與b之間的某一定數(shù).而(4)、(5)兩式的特點(diǎn)在于把中值點(diǎn)§表示成了Q+&(b-d)，使得不論。力為何值,&總可為小于1的菜一正數(shù).定理2.3柯西中值定理設(shè)函數(shù)f和g滿足：⑴在［。,方］上都連續(xù)；(2)在(a,b)內(nèi)都可導(dǎo);(3)廠(兀)和g?)不同時(shí)為零;⑷g(a)Hg(b)，則存在(a,b),使得(6)廠?二/(b)-/⑷g@)g@)-g(d)證明：作輔助函數(shù)g(b)-g(a)?(g(x)一g(。))易見F在［a,方］上滿足羅爾小值定理的條件，故存在Qa,b),使得g(b)—g(a)

6、g@)=0因?yàn)間@)=0(否則由上式廠(勺也為零)，所以可把上式改寫成(6)式.結(jié)論:lll±述證明可知，拉格朗口中值定理和柯西中值定理都可以借用羅爾中值定理來證明,11.羅爾中值定理是拉格朗H中值定理的特殊情況.柯西小值定理有著與前兩個(gè)小值定理相類似的兒何意義，只是現(xiàn)在要把幾g這兩個(gè)函數(shù)當(dāng)作以兀為參量的參量方程［%=g(x)lv=/(x)在譏川平而上表示一段曲線.山于(6)式右邊的了⑹-畑表示連接曲線兩端的弦AB的斜率，而(6)式左邊的g(b)-g(a)厶Qi=色

7、則表示該曲線上與x=^相對(duì)應(yīng)的一點(diǎn)仗(軌廣?)處的切

8、線的斜率，因此gU)du"(3)式即表示上述切線與弦AB互相平行.拉格朗日中值定理是羅爾(Rolle)中值定理的推廣，因而在證明時(shí)，自然要求滿足條件的函數(shù)/轉(zhuǎn)化成滿足羅爾小值定理?xiàng)l件的函數(shù)0,即有函數(shù)/構(gòu)造輔助兩數(shù)0，下面將拉格朗日屮值定理的可微條件適當(dāng)放寬，使其具有更廣泛的意義.定理3.1設(shè)函數(shù)/在閉區(qū)間［a,b］±.連續(xù)，若函數(shù)在@上)內(nèi)除了有限個(gè)點(diǎn)外可微，則存在兵⑺力),使nf(b)-f(a)

9、則得到=F&)(d-a)總e(訕),/(b)—/(d)=/@)(b—小丘童⑺/),令

10、/@)

11、=max{『($)

12、,

13、廠(芻)

14、},使得定理3.2設(shè)函數(shù)/在閉區(qū)間［⑦樹上連續(xù)，若函數(shù)/在(a,b)內(nèi)除了料個(gè)點(diǎn)外町微，則存在〃+1個(gè)點(diǎn)a<§2