極限地概念_函數(shù)地連續(xù)性詳解

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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案第二章.極限概念函數(shù)的連續(xù)性對(duì)于函數(shù)的概念，我們總是能夠從日常直觀出發(fā)，就能很好地加以理解，因?yàn)楫吘挂蚬P(guān)系的觀念在我們的意識(shí)當(dāng)中是非常深根蒂固的。那么要真正嚴(yán)格地理解極限的觀念，就不是那么自然的了。對(duì)于極限的觀念，最為關(guān)鍵的問(wèn)題是，如何定量地加以描述，并把這種描述作為一般的判別標(biāo)準(zhǔn)。這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上困擾了人們幾百年，一直到19世紀(jì)才加以解決的。?數(shù)列的極限描述（數(shù)列存在極限判別定理，定義法、柯西法、子數(shù)列法、夾逼法、單調(diào)有界法）設(shè)存在一個(gè)數(shù)列，也就是一個(gè)數(shù)值的集合，這個(gè)集合的元素可以一個(gè)一個(gè)的數(shù)出來(lái)，同時(shí)每一個(gè)元素都可以加上唯一的標(biāo)志，而自然

2、數(shù)是最為適宜作這件工作的。比如說(shuō)，把一個(gè)數(shù)列寫成這樣的樣子：，或者簡(jiǎn)單地記成{。觀察這個(gè)數(shù)列取值變化，有的數(shù)列變化具有下面的變化規(guī)律：對(duì)于數(shù)列，假設(shè)存在一個(gè)確定的常數(shù)a，現(xiàn)在我們考慮變量（顯然這是一個(gè)反映數(shù)列數(shù)值變化的，隨著n而發(fā)生變化的變量。），如果我們?nèi)我庹业揭粋€(gè)數(shù)，無(wú)論它的數(shù)值有多么大或者多么小，我們總是能夠在這個(gè)數(shù)列當(dāng)中找到一個(gè)元素，使得在這個(gè)元素后面的所有的數(shù)列元素，都使得相應(yīng)的變量的值小于，換一句話來(lái)說(shuō)，對(duì)于任意的，總是存在一個(gè)N，當(dāng)n>N時(shí)，總是有成立這時(shí)我們就把a(bǔ)稱為數(shù)列的極限。并且稱數(shù)列收斂于極限a。我們使用記號(hào)來(lái)表示該數(shù)列極限。否則我

3、們就說(shuō)數(shù)列{是發(fā)散的。文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案這就是一個(gè)數(shù)列收斂于一個(gè)極限或者說(shuō)存在一個(gè)極限的定義。在這個(gè)定義里面，最為關(guān)鍵的地方，也是初學(xué)者最為困難的地方有兩個(gè)：1。數(shù)值是任意的。就是說(shuō)只要存在一個(gè)的數(shù)值不滿足定義的條件，就不能說(shuō)數(shù)列收斂于極限a。這里初學(xué)者感到非常困難的地方是，我們是不是一定要對(duì)所有可能的都進(jìn)行檢驗(yàn)，才能得到最后的判斷呢？不是的,在實(shí)際問(wèn)題中，由于我們的目的是希望知道變量是否越來(lái)越小，一般只要取大于0，并且足夠?。ㄎ覀?cè)谟嘘P(guān)極限的定義當(dāng)中，總是先假設(shè)了這點(diǎn)，），當(dāng)然這樣不能減少我們對(duì)的任意取值進(jìn)行驗(yàn)證的任務(wù)，但是我們所處理的數(shù)列，總是按照

4、某種特定的規(guī)律來(lái)變化，一般從這個(gè)數(shù)列的變化規(guī)律本身就可以找到由決定的N的值，使得小于，或者是找到反例。從而實(shí)現(xiàn)對(duì)所有可能的們進(jìn)行判斷.不過(guò)，我們的課程在這個(gè)方面的要求并不是過(guò)高的，因此我們只是需要考慮一些比較簡(jiǎn)單的例子，而我們的精力應(yīng)該集中在對(duì)于極限思想的理解。2.滿足條件的n必須取遍所有大于N的自然數(shù)。初學(xué)者往往會(huì)覺(jué)得這是不可能的，實(shí)際上，我們并不需要對(duì)所有大于N的n值進(jìn)行檢驗(yàn)，同樣由于數(shù)列的變化是具有規(guī)律的，從數(shù)列本身的規(guī)律，我們一般總是能夠通過(guò)有限的步驟，來(lái)得到所需要的判斷。那么數(shù)列的規(guī)律是什么呢？一般說(shuō)來(lái)，一個(gè)數(shù)列的元素總是一個(gè)由變量n決定的函數(shù)

5、，這里變量n取遍自然數(shù)，就生成了數(shù)列的全部項(xiàng)。這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式稱為通項(xiàng)的通項(xiàng)公式。不過(guò)通項(xiàng)公式有時(shí)候并非完全只是n的函數(shù)，有時(shí)由變量n和第n項(xiàng)之前的項(xiàng)所決定，這時(shí)，通項(xiàng)公式表現(xiàn)為一個(gè)遞推公式，這種情況的處理比較復(fù)雜，我們不過(guò)多的涉及。利用極限的定義和應(yīng)用不等式（絕對(duì)值不等式.）對(duì)一個(gè)數(shù)列進(jìn)行檢驗(yàn)是否存在極限，實(shí)際上是預(yù)先假設(shè)知道了這個(gè)極限是多少，所謂的檢驗(yàn)只不過(guò)是證明這個(gè)數(shù)列的極限是否是這個(gè)給出的極限值。答疑解難。1．?dāng)?shù)列的極限的定義當(dāng)中，與N的取值是一一對(duì)應(yīng)的嗎？[答]：不是。初學(xué)者對(duì)于極限的定義的敘述往往理解不夠深入，并且常常產(chǎn)生歧義，這個(gè)問(wèn)題就是最

6、為典型的。盡管在根據(jù)定義進(jìn)行具體的極限分析時(shí)，常常是由推出N的表達(dá)式，但這并不是意味著這兩個(gè)變量之間具有一定的函數(shù)關(guān)系，這兩個(gè)變量之間確實(shí)是具有一定的關(guān)系，但決不是函數(shù)的關(guān)系，而是一種兩個(gè)區(qū)間的相互影響與決定的關(guān)系，實(shí)際上，我們給出一個(gè)的意思，實(shí)際上是給出了一個(gè)區(qū)間，同樣由此而得到的N，也是一個(gè)區(qū)間的概念，而不是兩個(gè)數(shù)值變量的關(guān)系，因此N的求法是很多形式的，實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中，我們只是選擇了最為方便的形式而已。?文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案那么在不知道預(yù)先極限值時(shí)，有沒(méi)有方法驗(yàn)證數(shù)列是否有極限，這就是相當(dāng)重要的柯西收斂原理：我們說(shuō)數(shù)列{收斂，它的充要條件是：對(duì)于任意的

7、>0，總是存在正整數(shù)N，使得對(duì)于任意的自然數(shù)p和n>0，有成立?？梢钥吹?，在這里對(duì)數(shù)列所進(jìn)行的檢驗(yàn)與極限的定義當(dāng)中對(duì)數(shù)列所進(jìn)行的檢驗(yàn)是存在一點(diǎn)差異的，就是在這里對(duì)數(shù)列進(jìn)行檢驗(yàn)，我們并不需要知道這個(gè)數(shù)列的極限a究竟是多少，而通過(guò)檢驗(yàn)，我們也只是知道這個(gè)極限是否存在極限，但求不出極限是多少。而在極限的定義當(dāng)中，要對(duì)一個(gè)數(shù)列進(jìn)行檢驗(yàn)，實(shí)際上是預(yù)先假設(shè)知道了這個(gè)極限是多少，所謂的檢驗(yàn)只不過(guò)是證明這個(gè)數(shù)列的極限是否是這個(gè)給出的極限值?？挛髟硎歉鼮榉奖愕尿?yàn)證是否有極限方法文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案其他判別極限存在定理（1）數(shù)列{以a為極限的另一個(gè)說(shuō)法，或者說(shuō)一個(gè)充要條件

8、是：對(duì)于數(shù)列{的任意一個(gè)子數(shù)列{都以a為極限。我們只要能夠在一個(gè)數(shù)列里，構(gòu)造出一