關(guān)于淋雨數(shù)學(xué)建模

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1、.word格式.淋雨數(shù)學(xué)建模摘要：本文通過對(duì)人在雨中直線行走時(shí)雨垂直降落、從前吹來、從后吹來這三種情況的分析討論，得到了在不同情況下淋雨總量與人的行走速度的數(shù)學(xué)模型。并發(fā)現(xiàn)，當(dāng)雨垂直落下和迎面吹來時(shí)，跑的速度越快淋雨越少；而當(dāng)雨從背面吹來時(shí)，當(dāng)人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小且此時(shí)夾角滿足時(shí)，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情況下有當(dāng)時(shí)，淋雨量最小。關(guān)鍵詞：淋雨直線行走一問題重述人在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變。試建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快，淋雨量越少，并用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)。假設(shè)跑步距離d=100米，跑步最大速度為=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量為w=2c

2、m/h。（1）不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計(jì)跑完全程的淋雨量。（2）雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體夾角為,問跑步速度v為多大？淋雨量最少。二問題的分析人在雨中行走時(shí)可能出現(xiàn)以下三種情形：情形一：雨垂直下落，人以速度v前行，此時(shí)降雨淋遍全身（如圖1所示）圖1情形二：雨迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，與人的正面夾角為，此時(shí)后背淋不到雨（如圖2所示）.專業(yè).專注..word格式.圖2情形三：雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，與人的背后夾角為α，此時(shí)正面淋不到雨（如圖3所示）圖3我們知道當(dāng)人在雨中前行的時(shí)候，人和雨相對(duì)地面都是運(yùn)動(dòng)的，故知人與

3、雨是相對(duì)運(yùn)動(dòng)的。為此我們選擇人作為參考系，再考慮雨的相對(duì)速度及其與人體方向（即與人體夾角、α）對(duì)總淋雨量的影響。三合理的假設(shè)3.1將人體看成一個(gè)長(zhǎng)方體；3.2雨速為常數(shù)且方向不變；3.3降雨量為一定值；3.4考慮雨的方向與人體前進(jìn)的方向在同一平面內(nèi)；3.5符號(hào)的假定:a:身高（頸部以下）b:身寬c:身厚d:跑步距離v:跑步速度:跑步最大速度w:降雨量u:雨速Q(mào):總淋雨量:雨迎面吹來與人的夾角:雨背面吹來與人的夾角s：有效淋雨面積：以人為參考系時(shí)的相對(duì)雨速四模型的建立我們先考慮如下情形，現(xiàn)有一塊土地面積為s，雨垂直降落，雨速及方向不變，且降雨量為一常數(shù)w，則有時(shí)間t內(nèi)該土地的淋雨量為。若雨速發(fā)生

4、變化，則降雨量也會(huì)相對(duì)發(fā)生改變，設(shè)雨速?gòu)膗變?yōu)?，則降雨量相對(duì)變.專業(yè).專注..word格式.化為，從而可求得此時(shí)的淋雨量為。若雨速不變，降雨的方向發(fā)生改變，設(shè)其與原方向的夾角為，那么此時(shí)的淋雨量為。類似我們可以求得在問題分析中出現(xiàn)的三種情況下人體的總淋雨量如下：4.1當(dāng)雨垂直降落時(shí)有效淋雨面積：淋雨時(shí)間：總淋雨量（1）4.2當(dāng)雨迎面吹來時(shí)由假設(shè)3.4我們知道，當(dāng)雨迎面吹來時(shí)，只有頂部和人體的迎面部分為有效淋雨面積，記頂部面積為，迎面部分面積為，則，分別計(jì)算其淋雨量如下：淋雨時(shí)間：雨速垂直分量：雨速水平分量：，且方向與相反，故相對(duì)雨速=頂部淋雨量：迎面淋雨量：所以總的淋雨量為：（2）4.3當(dāng)雨從

5、背面吹來時(shí)同理，當(dāng)雨從背面吹來時(shí)，只有頂部和人體的背面部分為有效淋雨面積，記頂部面積為，背面部分面積為，則，分別計(jì)算其淋雨量如下：.專業(yè).專注..word格式.淋雨時(shí)間：雨速垂直分量：雨速水平分量：，方向與相同，故相對(duì)雨速=頂部淋雨量：背面的淋雨量：總淋雨量為：（3）五模型的求解運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中求函數(shù)最值的知識(shí)，對(duì)于以上所建的模型我們求解得到不同情況下人的淋雨量Q與行走速度v的具體關(guān)系如下：5.1當(dāng)雨垂直降落時(shí)由（1）式知總淋雨量，易知v越大，Q值越小，故此時(shí)跑得越快，所淋到的雨量越少。即：當(dāng)時(shí)，最??；5.2當(dāng)雨迎面吹來時(shí)對(duì)（2）式關(guān)于v求導(dǎo)可得：，故Ｑ關(guān)于v是單調(diào)遞減函數(shù)，故此種情況下，當(dāng)時(shí)，

6、最?。?.3當(dāng)雨從背面吹來時(shí)對(duì)（3）式，分以下兩種情況討論如下：此時(shí)對(duì)（a）式關(guān)于v求導(dǎo)可得，可知v越大，淋雨量越小，又因?yàn)椋手?dāng)時(shí)，Q最??；當(dāng)，對(duì)（b）關(guān)于v求導(dǎo).專業(yè).專注..word格式.，故Ｑ關(guān)于v是單調(diào)遞減函數(shù)，同樣可得，當(dāng)時(shí)，最小；當(dāng)，對(duì)（b）關(guān)于v求導(dǎo)，故Ｑ關(guān)于v是單調(diào)遞增函數(shù)，又，故時(shí)，最小。六結(jié)果分析由上面的求解過程我們可看出，當(dāng)雨垂直落下和迎面吹來時(shí)，跑的速度越快淋雨越少；而當(dāng)雨從背面吹來時(shí)，當(dāng)人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小且此時(shí)夾角滿足時(shí)，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情況下有當(dāng)時(shí)，淋雨量最小。七模型的檢驗(yàn)現(xiàn)給出數(shù)據(jù)如下：7.1當(dāng)雨垂直降落時(shí)7.2當(dāng)雨迎面吹來

7、時(shí)：：7.3當(dāng)雨從背面吹來時(shí)時(shí)，，故時(shí)，淋雨最少。此時(shí)：八優(yōu)缺點(diǎn)分析優(yōu)點(diǎn)：在模型中我們考慮了雨從不同方向吹來，結(jié)合了風(fēng)向等因素，考慮了三種情況下人的總淋雨量，并以人為參照物優(yōu)化了模型。缺點(diǎn)：此模型只是將人與雨的方向在同一平面內(nèi)考慮的，如果在不同的平面內(nèi)，則雨的方向應(yīng)該在三維空間中考慮。參考文獻(xiàn)：[1]姜啟源，謝金星等《數(shù)學(xué)模型》(M)第三版高等教育出版社2003年.專業(yè).專注.