澈力木格論文

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1、泰勒公式的應(yīng)用摘要：泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分，也是數(shù)學(xué)中的一類基本問題，本文詳細(xì)介紹泰勒公式及其應(yīng)用在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上的幾個應(yīng)用作論述。文章首先是介紹泰勒公式的定義，然后是泰勒公式應(yīng)用的闡述，休現(xiàn)在求行列式的值、函數(shù)極限,計算近似值，求不等式的證明，求初等函數(shù)的幕級數(shù)展開式。關(guān)鍵詞：泰勒公式行列式極限級數(shù)近似值不等式泰勒公式是18世紀(jì)早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物Z—的英國數(shù)學(xué)家泰勒，在微積分屮將函數(shù)展開成無窮級數(shù)而定義出來，泰勒將函數(shù)展開成級數(shù)從而得到泰勒公式，對于一般函數(shù)/,設(shè)它在點兀。存在直到"階導(dǎo)數(shù)

2、，由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)成一個八次多項式人(滬/%)+器6-*。)+警……+芒評H，衲函數(shù)/在點心處的泰勒多項式，若函數(shù)/在點兀0存在直到”階導(dǎo)數(shù)，則有/■(x)=7；(x)+O((x-Xo)")‘即/(X)=/(X。)+廣(X。X"-X。)+f繆(X-X。)2+...+f$)(x-x0)+0((x-xoy)稱為泰勒公式。眾所周知泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中非常重要的內(nèi)容，它的理論方法己經(jīng)成為研究函數(shù)極限等方面不可或缺的數(shù)學(xué)工具，泰勒公式在分析和研究數(shù)學(xué)問題中有著重要作用，它可以應(yīng)用于求極限、判斷函數(shù)極值，判斷行列式的值、函數(shù)的

3、極限,計算近似值，求不等式的證明等方面。利用泰勒展式求函數(shù)的幕級數(shù)展開式如果函數(shù)/(X)在x=x()處存在任意階的導(dǎo)數(shù)，這時稱形式為/（兀0）+/'（xoXx—Xo）+f（兀一兀0尸++/YJ（無_兀。）"+（1）2!n的級數(shù)為函數(shù)/（兀）在心的泰勒公式。如杲于（兀）能在兀。的某領(lǐng)域上等于其函數(shù)級數(shù)的和函數(shù)，則稱函數(shù)/（x）在X。的這領(lǐng)域內(nèi)可以展開成泰勒公式，并稱等式/（兀）=/（兀0）+廣（兀0滅兀_兀0）+/］：°）（兀_兀0）2++~~（X-xo）n+2!n的右邊為在處的泰勒展開式，或稱幕級數(shù)展開式。

4、在實際應(yīng)用上，主耍討論函數(shù)在心=0處的展開式，這時（1）式可以寫作稱為麥克勞林級數(shù)。例1f(x)=(1+x)a(ag/?)展開成幕級數(shù)解.f0，)(X)=6Z(6/-1)……(6/-72+1)(1+曠/ITT?f(n)(0)=a(a-l)(d—z?+l),(n=0,1,2,3)q(q—1)2a(a-l)……(a-n+1)n1+QX+X++X+:.R=l^t(JI)內(nèi)，若a”+1an2!/?!???lim冷)=1+心……+心7……g+u+n如“+疋-1)兀+……+訛T)……g+D+(n-1)!xsfM=ax+

5、a(a-l)x2+……+心1)……(。十1)疋+(〃一1)!(m-1)(m-n-1)(nt-1)(m-n)m(m-1)(jn-n+1)n利用(/i-l)!+n???(1+x)s'(x)兀++/(-1)……@7+1)嚴(yán)+2!n!as(x)竺=厶，且思(0)=1s(x)1+X兩邊積分f普瀘=I總G(T」)得Ins(x)-In5(0)=aln(l+x)即Ins(x)=ln(l+x)a:.5(x)=(1+x)a、xe(-1J)(1+x)a牛頓二項式展開式1+姒+^^/++訛一1)……(07+1"+兀*1,1)2!川

6、注意：在兀=±1處收斂性與a的収值有關(guān)-l

7、2在（0,1）內(nèi)至少存在一點歹，使得廠②王12分析；能將函數(shù)及其一階導(dǎo)、二階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起的唯有泰勒公式，要判斷廠（012,自然考慮對Vxe［0,1］在77點展開泰勒公式。（Vxe［0,1］）,其41『在7J與X之間證明：考慮到區(qū)間［0,1］,分別取X為區(qū)間的斷點，當(dāng)兀=［0,1］時，取歹=丄，由泰勒公式得+廣rrfl-11I2丿/（!）=/”1if、32丿+廣r+—12fo-r2+-叫2)3，爲(wèi)GjJI2丿2!I2丿3!I2>7zJ2丿++2!3!1--2丿/（0）=/兩式相減并化簡得廠點）+嚴(yán)（

8、打=24因此，至少有一個的函數(shù)值不小于12,即xlnx+yiny>("An寧x>0,y>0y)證明:令/(r)=rln(z)('>0)則廣（/）=lnf+l廠心〉0???□）"Inf在（）或（）x>0,y>0是凹的，于是即i[xlnx+ylny]>^ln^±2即xlnx+7ln7>（%+>,）ln￡±2例4設(shè)廣（兀）在［0,1］上的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)/（0）=/（I）=0并且當(dāng)xe（0,l）