抽象函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的判斷及其綜合運(yùn)用

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1、抽象函數(shù)單調(diào)性.奇偶性的判斷及其綜合運(yùn)用抽象函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷1.對于抽象函數(shù)奇偶性的判斷，通常用定義法（方法）O要充分利用所給條件想方設(shè)法尋找fX與f-X之間的關(guān)系。此類題hl常用到f0，可通過對式子中的變量進(jìn)行特殊賦值（技巧），構(gòu)造出0,把f0求出來。利用特殊法求解，取特殊值時，要注意取值的合理性，有時取一組值不能得到合適的答案，還需嘗試再取另一組。做題時，注意體會領(lǐng)悟。2.對于抽彖函數(shù)單調(diào)性的判斷，也是利用定義法，就是耍注意作差（或作商）公式的變形應(yīng)用(1)fxlfx2fxlx2x2fx2(2

2、)fx2fxlfx2xlxlfxlX(3)fxlfx2f1x2fx2x2X(4)fx2fxlf2xlfxlxlXf1x2fxlX(5)2fx2fx2x1“2x2fx2X(6)2fxlfxl3.用定義法證明抽象函數(shù)單-調(diào)性的步驟與技巧（1）取值取值技巧：取值時，要有方向性、H標(biāo)性①若題干中出現(xiàn)暗示單調(diào)性的條件為“當(dāng)x0時，fx0”時，一般我們會按照“任取xl,x2A,Kxlx2,則xlx20（A為題設(shè)所給定義域，下同）”的模式來操作。②若題干中出現(xiàn)暗示單調(diào)性的條件為“當(dāng)x0時，fx『時，我們可以按照“任取x

3、l,x2A,Kxlx2,則xlx20”的模式來操作。③若題干中出現(xiàn)暗示單調(diào)性的條件為“當(dāng)x0時，fx『時,按照“任取xl,x2A,且xlx2,則x2xl0”的模式來取值，那么在變形時就耍選擇第二個變形公式了。0”時，按照“任取④若題干中出現(xiàn)暗示單調(diào)性的條件為“當(dāng)x0時，fxxl,x2A,且xlx2,則x2xl0”的模式來取值時，在變形時也要耍選擇第二個變形公式。注：不管怎么取值都可以，但是在選擇變形公式時，必須要保證跟題干所給的暗示單調(diào)性的條件方向統(tǒng)一，否則將函數(shù)值作差后無法判斷其符號，從而也就無法判斷函

4、數(shù)的單調(diào)性。（2）作差變形①利用變形公式fxlfx2fxlx2x2fx2進(jìn)彳亍第一?次變形變形公式選擇技巧：若按照“任取xl,x2A,且xlx2,則xlx20”的模式取值，并且題干所給的暗示單調(diào)性的條件為“當(dāng)x0時，fxa”時，則選擇第二個變形公式fx2fxlfx2xlxlfxl,因?yàn)閤lx2,則x2xl0,這樣就能保證跟題干所給的fl咅示單調(diào)性的條件方向保持統(tǒng)一。（3）利用題設(shè)所給的抽象表達(dá)式進(jìn)行第二次變形（4）定號利用題干所給的暗示單調(diào)性的條件“當(dāng)x0時，fx0”判定差的符號（5）下結(jié)論注：抽象函數(shù)單

5、調(diào)性的判斷方法與步驟跟具體函數(shù)一模一樣，只不過在作差變形和判定差的符號時會有細(xì)節(jié)上的不同。具休函數(shù)作差后在恒等變形時往往要用到“通分、配方、因式分解、有理化”等具體化的技巧。然而抽象函數(shù)在恒等變形時要利用到變形公式和抽象表達(dá)式兩個抽象變形技巧，并且判定符號時要根據(jù)題設(shè)所給出的暗示單調(diào)性的條件來判斷，因此在取值和選擇變形公式時一定要有目標(biāo)性、方向性。例1.已知函數(shù)yfx不恒為0,對任意x,yR綁有fxyfxfy,且當(dāng)x0時，fx0.求證：（1）yfx是奇函數(shù)；（2）yfx是R上的增函數(shù).導(dǎo)析：（l）靈活運(yùn)用

6、x,y的任意性及關(guān)系式fxyfxfy，尋找fx與f-xZ間的關(guān)系（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，利用fxyfxfy尋找fxl與fx2的關(guān)系解答：（1）函數(shù)fx的定義域?yàn)镽,???對任意x,yR都有fxyfxfy,令xyO得f0二f0+f0,2???f0二0,令y:.￡xfxf0二0,:.￡x-fx???函數(shù)fx是奇函數(shù)(2)設(shè)xl,x2R,且xlx2,貝ijfxlfx2fxlx2x2fx2=f(xlx2)fx2fx2f(xlx2)Vx0時，fX0,而xlx20,/.f(xlx2)0.即fxlfx29/.fX在R上

7、是增函數(shù).變式1.已知函數(shù)yfx不恒為0,且對任意xl,x2R都有fxlx2fxlx22fxlfx2.求證:fX是偶函數(shù).證明：令xl0,x2x,則得fXfX2f0fX①又令xlx,x20xl=x,x2=0,得fXfX2fxf0②rtl①、②得fXfx，/.fx是偶函數(shù).例2.函數(shù)yfx對任意a,bR都有fabfafb1,當(dāng)當(dāng)x0時，fx1.(1)求證：fx是R上的增函數(shù).(2)若f45,解不等式f3m2m23.(3)若關(guān)于x的不等式fnx2fxx22恒成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍.思路點(diǎn)拔：要證fx是R上的

8、增函數(shù)，耍緊扣單調(diào)性的定義進(jìn)行，解不等式f3m2m23的關(guān)鍵是先給3“穿上f”，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)值大小關(guān)系，再根3據(jù)函數(shù)單調(diào)性“脫掉f”，將其轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.規(guī)范解答：(1)設(shè)xlx2,則x2xl0,f(x2xl)1,fx2xlxlfxl=f(x2xl)fxlfxlf(x2xl)1???fX是R上的:壇函數(shù).(2)f(4)f(：22)2i:(2)15,???f(2)3,???f3m2m23f2,?：3m2m22,即3m2in