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《示范教案（平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示）》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、2.3平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析平面向量基本定理既是本節(jié)的重點(diǎn)又是本節(jié)的難點(diǎn).平面向量基本定理告訴我們同一平面內(nèi)任一向量都可表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合,這樣,如果將平面內(nèi)向量的始點(diǎn)放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面內(nèi)的任意一點(diǎn)都可以通過兩個(gè)不共線的向量得到表示,也就是平面內(nèi)的點(diǎn)可以由平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)及兩個(gè)不共線的向量來表示.這是引進(jìn)平面向量基本定理的一個(gè)原因.在不共線的兩個(gè)向量中,垂直是一種重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一種分解,因?yàn)樵谄矫嫔?如果選取互相垂直的向量作為
2、基底時(shí),會給問題的研究帶來方便.聯(lián)系平面向量基本定理和向量的正交分解,由點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的表示得到啟發(fā),要在平面直角坐標(biāo)系中表示一個(gè)向量,最方便的是分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底,這時(shí),對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實(shí)數(shù)x、y,使得a=xi+yj.于是,平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定,而有序數(shù)對(x,y)正好是向量a的終點(diǎn)的坐標(biāo),這樣的“巧合”使平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的向量與坐標(biāo)建立起一一映射,從而實(shí)現(xiàn)向量的“量化”表示,使我們在使用向量工具時(shí)得以實(shí)現(xiàn)“有效能算”的思想.三維目標(biāo)1.通過探究活動(dòng),能推導(dǎo)并理解平面向量基本
3、定理.2.掌握平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示,理解這是應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法.能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來表達(dá).3.了解向量的夾角與垂直的概念,并能應(yīng)用于平面向量的正交分解中,會把向量正交分解,會用坐標(biāo)表示向量.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):平面向量基本定理、向量的夾角與垂直的定義、平面向量的正交分解、平面向量的坐標(biāo)表示.教學(xué)難點(diǎn):平面向量基本定理的運(yùn)用.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.在物理學(xué)中我們知道,力是一個(gè)向量,力的合成就是向量的加法運(yùn)算.而且力是可以分解的,任何一個(gè)大小不為零的力,都可以分解成兩個(gè)不同方向的分力之和.將這種
4、力的分解拓展到向量中來,會產(chǎn)生什么樣的結(jié)論呢？又如一個(gè)放在斜面上的物體所受的豎直向下的重力G,可分解為使物體沿斜面下滑的力F1和使物體垂直于斜面且壓緊斜面的力F2.我們知道飛機(jī)在起飛時(shí)若沿仰角α的方向起飛的速度為v,可分解為沿水平方向的速度vcosα和沿豎直方向的速度vsinα.從這兩個(gè)實(shí)例可以看出,把一個(gè)向量分解到兩個(gè)不同的方向,特別是作正交分解,即在兩個(gè)互相垂直的方向上進(jìn)行分解,是解決問題的一種十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量,a是這一平面內(nèi)的任一向量,那么a與e1、e2之間有什么關(guān)系呢？在不共線的兩個(gè)向量中,垂直是一種重要的情形.把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互
5、相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底,是否會給我們帶來更方便的研究呢?9/9思路2.前面我們學(xué)習(xí)了向量的代數(shù)運(yùn)算以及對應(yīng)的幾何意義,如果將平面內(nèi)向量的始點(diǎn)放在一起,那么平面內(nèi)的任意一個(gè)點(diǎn)或者任意一個(gè)向量是否都可以用這兩個(gè)同起點(diǎn)的不共線向量來表示呢？這樣就引進(jìn)了平面向量基本定理.教師可以通過多對幾個(gè)向量進(jìn)行分解或者合成,在黑板上給出圖象進(jìn)行演示和講解.如果條件允許,用多媒體教學(xué),通過相應(yīng)的課件來演示平面上任意向量的分解,對兩個(gè)不共線的向量都乘以不同的系數(shù)后再進(jìn)行合成將會有什么樣的結(jié)論？推進(jìn)新課新知探究提出問題圖1①給定平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的非零向量e
6、1、e2,請你作出向量3e1+2e2、e1-2e2.平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?②如圖1,設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,a是這一平面內(nèi)的任一向量,我們通過作圖研究a與e1、e2之間的關(guān)系.活動(dòng):如圖1,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=e1,=e2,=a.過點(diǎn)C作平行于直線OB的直線,與直線OA;過點(diǎn)C作平行于直線OA的直線,與直線OB交于點(diǎn)N.由向量的線性運(yùn)算性質(zhì)可知,存在實(shí)數(shù)λ1、λ2,使得=λ1e1,=λ2e2.由于,所以a=λ1e1+λ2e2.也就是說,任一向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式.由上述過程可以發(fā)現(xiàn),平面內(nèi)任一向量都可以
7、由這個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量e1、e2表示出來.當(dāng)e1、e2確定后,任意一個(gè)向量都可以由這兩個(gè)向量量化,這為我們研究問題帶來極大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.定理說明:(1)我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;(2)基底不唯一,關(guān)鍵是不共線;(3)由定理可將任一向量a在給出基底e1、
