矩陣計算與分析-冪迭代法和逆冪迭代法.pdf

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1、4.3冪迭代法和逆冪迭代法4.3冪迭代法和逆冪迭代法4.3.1冪迭代法在實際問題中,具體要求也有不同.某些應(yīng)用場合通常不需要知道矩陣的全部特征值和特征向量,而僅要求得到矩陣的按模最大的特征值(或稱為矩陣的主特征值)和相應(yīng)的特征向量,如線性方程組迭代解法的收斂性問題.有的則要求全部特征值和特征向量.根據(jù)這2種不同要求,矩陣的特征值和特征向量的計算方法也大體上分成2種類型.本章就此2種類型介紹其中最常用的2種方法?冪法和QR法.冪法主要用于求矩陣的按模最大的特征值和相應(yīng)的特征向量.它是通過迭代產(chǎn)生向量序列,由此計算特征值和特征向量.其算法的思想基于如下結(jié)論:定理1設(shè)矩陣A∈Rn

2、×n有n個線性無關(guān)的特征向量x(i=1,i2,…,n),其對應(yīng)的特征值λ(i=1,2,…,n)滿足i

3、λ

4、>

5、λ

6、≥

7、λ

8、≥…≥

9、λ

10、(1)123n對任意的非零向量v∈Rn,用A構(gòu)造向量序列0v=Avk=0,1,2,…(2)k+1k則有(v)kilim=λi=,2,1",n)3(1k→∞(v)k?1i式中,(v)表示向量v的第i個分量.kik證明因為A有n個線性無關(guān)的特征向量xi(i=1,2,…,n),所以對任意的非零向量v都可用x(i=1,2,…,n)線性表示,即0iv0=α1x1+α2x2+"+αnxn假定α1≠0?v1=Av0?v=Av=A2v210用A構(gòu)造向量序列?

11、?#?v=Av=Akvkk?10??#kk∵Axi=λixi?Axi=λixii=,2,1",nkkkk∴v=Av=αAx+αAx+"+αAxk01122nnkkk=α1λ1x1+α2λ2x2+"+αnλnxnknk?λi?=λ(αx+α??x))4(111∑iii=2?λ1?k?1nk?1?λi?同理v=λ(αx+α??x)k?1111∑iii=2?λ1?λi由于<(1i=,3,2",n,)故對足夠大的k,有λ1kk?1v=λ(αx+ε)v=λ(αx+ε))5(k111kk?1111k?1n式中εk?1,εk∈R,且當(dāng)k→∞時,εk?1,εk→.0當(dāng)(x1)i≠0時有(v

12、k)iα1(x1)i+(εk)ilim=λ1lim=λ1k→∞(vk?1)ik→∞α1(x1)i+(εk?1)i這種由已知非零向量v及矩陣的乘冪Ak構(gòu)造向量序列{v}0k以計算A的按模最大的特征值λ的方法稱為乘冪法,簡稱為冪1法.而定理的證明過程事實上已給出了冪法的實施步驟.A1)任取的非零向量v應(yīng)使α≠0,通??扇=(1,1,…,1)T.如010果初始向量v選擇不當(dāng),以致使α=0,上述結(jié)果理論不成立,01但由于計算中的舍入誤差,經(jīng)過若干步以后,可有kvk=Av0=b1x1+b2x2+"+bnxn其中b≠0,但由于bx一項是由舍入誤差得到,

13、b

14、較小,而1111v的第一項

15、本在(4)式右端各項中占優(yōu)勢,因此迭代收斂很慢,有k時,選擇的v雖沒有使α=0,但α很小,接近于零時,迭代收011斂也會很慢.具體計算時,如果發(fā)現(xiàn)收斂很慢,不妨另取初始向量v再算,或者在計算方案中一開始就選擇幾個不同的v來00進(jìn)行試算.2)由于v=Av,而v≈λv,故有Av≈λv,所以,v可以k+1kk+11kk1kk作為與λ相應(yīng)的特征向量的近似.13)定理的結(jié)論式(3)是假定按模最大的特征值是單個的.若

16、λ

17、1>

18、λ

19、的要求不能滿足時,應(yīng)視下列不同情形具體分析:2(1)當(dāng)λ=λ=…=λ(即按模最大的特征值是實r重的)時,且12r

20、λ

21、>

22、λ

23、≥…≥

24、λ

25、則仿定理的證明,對

26、任意初始向量1r+1nnv0=∑αixi(且α1,",αr不全為零)i=1rnkkk?λi?則由冪法有vk=Av0=λ1(∑αixi+∑αi??xi)i=1i=r+1?λ1?rk=λ1(∑αixi+εk)i=1r(vk)ivk?→λ1(k→∞)且有l(wèi)imk=∑αixi(vk?1)ik→∞λ1i=1所以,v可以作為與λ相應(yīng)的特征向量的近似.k1(2)

27、λ

28、=

29、λ

30、,但λ=?λ時,且

31、λ

32、>

33、λ

34、≥…≥

35、λ

36、則對任意初121213n始向量v0=α1x1+α2x2+"+αnxn假定α1≠,0α2≠0kkk則由冪法有vk=Av0=λ1(α1x1+(?)1α2x2+εk)k+1k+1

37、vk+1=λ1(α1x1+(?)1α2x2+εk+1)k+2k+2vk+2=λ1(α1x1+(?)1α2x2+εk+2)(vk+2)i2(vk+1)i2?→λ1(k→∞)或→λ1(k→∞)(vk)i(vk?1)i可證明對應(yīng)于λ的A的近似特征向量為v+λv,對應(yīng)于λ的1k+11k2為v?λv.k+11k(3)

38、λ

39、=

40、λ

41、,但λ=ρeiθ,λ=ρe?iθ,即λ,λ為一對共軛復(fù)特121212征值,且

42、λ

43、>

44、λ

45、≥…≥

46、λ

47、,則對任意初始向量13nv0=α1x1+α2x2+"+αnxn假定α1≠,0α2≠0kk當(dāng)k充分

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