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1、OrdinaryDifferentialEquationsChapter6§6.4極限環(huán)和平面圖貌6.4.1極限環(huán)例一階非線性駐定方程組?dx22=??yxxy(1+?)??dt??dy22=?xyxy(1+?)??dt取極坐標(biāo)x=rycos,θ=rsinθ?dr2=?rr(1),??dt??dθ?=1??dtOrdinaryDifferentialEquations（2013-2014（1））OrdinaryDifferentialEquationsChapter6?dr2方程組有兩個(gè)特解??=rr(1?)dt??(1)0,rt
2、=θ=?t00,t≥t，奇點(diǎn)；?dθ=1??dt(2)1,rt==?≥θt00,tt，以單位圓為軌線的周期解，周期為2π且沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。dr2dθ沿圓RR=<1,=?>RR(1)0,=>10111dtdt*rR==1θθ軌線按逆時(shí)針?lè)较驈膱ArR=1上走出圓外；dr2dθ沿圓RR=>1,=?10222dtdt*rR==2θθ軌線按逆時(shí)針?lè)较驈膱ArR=2上走到圓內(nèi)。OrdinaryDifferentialEquations（2013-2014（1））OrdinaryDifferentialEquationsCh
3、apter6R2R1r=1注：孤立的周期閉軌r=1稱為極限環(huán)OrdinaryDifferentialEquations（2013-2014（1））OrdinaryDifferentialEquationsChapter6設(shè)Γ是系統(tǒng)?dx=f(,)xy??dt?dy?=g(,)xy??dt的一個(gè)極限環(huán),如果存在著Γ的一個(gè)δ鄰域，使從此鄰域內(nèi)出發(fā)的其它解均正向()t→+∞趨近于Γ，則稱Γ為穩(wěn)定的極限環(huán)。如果其它解均負(fù)向()t→?∞趨近于Γ，則稱Γ為不穩(wěn)定的極限環(huán)。如果從Γ的δ鄰域出發(fā)的其它軌線在Γ的一側(cè)正向趨近于Γ，另一側(cè)負(fù)向趨近于Γ
4、，則稱此Γ為半穩(wěn)定的極限環(huán)。OrdinaryDifferentialEquations（2013-2014（1））OrdinaryDifferentialEquationsChapter6定理8Poincare-Bendixson環(huán)域定理設(shè)區(qū)域G是由兩條簡(jiǎn)單閉曲線ll,圍成的12環(huán)形域并且滿足下面條件:(1)G及其邊界ll,上不含奇點(diǎn);12(2)從G的邊界ll,上各點(diǎn)出發(fā)的軌線都不能12離開(或進(jìn)入);G(3)ll12,均不是閉軌線.則在G內(nèi)至少存在一個(gè)外穩(wěn)定閉軌和一個(gè)內(nèi)穩(wěn)定閉軌(一個(gè)外不穩(wěn)定閉軌和一個(gè)內(nèi)不穩(wěn)定的閉軌)，如果閉軌是
5、惟一的,則它一定是一條穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的)極限環(huán)。OrdinaryDifferentialEquations（2013-2014（1））OrdinaryDifferentialEquationsChapter6定理9設(shè)系統(tǒng)?dx=f(,)xy??dt?dy?=g(,)xy??dt的右端函數(shù)f(,)xy，gxy(,)在某個(gè)單連域D內(nèi)?f(,)xyg?(,)xy連續(xù)可微,并且+??xy在D內(nèi)不變號(hào),且在D的任何子域內(nèi)不恒為零，?dx=f(,)xy??則方程組dt在D內(nèi)不存在任何閉軌線。?dy?=g(,)xy??dtOrdinaryDif
6、ferentialEquations（2013-2014（1））OrdinaryDifferentialEquationsChapter6定理9*對(duì)于方程組?dx=f(,)xy??dtDulac函數(shù)?dy?=gxy(,)??dt若在某個(gè)單連域D內(nèi)存在一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)??B(,),xy使得()()BfB+g??xy不變號(hào),且在D的任何子域中不恒為零，則方程組不存在全部位于D內(nèi)的閉軌線。OrdinaryDifferentialEquations（2013-2014（1））OrdinaryDifferentialEquationsCha
7、pter6定理9**如果沿著系統(tǒng)?dx=f(,)xy??dt?dy?=gxy(,)??dt的極限環(huán)Γ有T??fxtyt((),())gxtyt((),())∫(+)dt<>0(0)??xy0則Γ是穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的.其中是的TΓ周期。OrdinaryDifferentialEquations（2013-2014（1））OrdinaryDifferentialEquationsChapter6例1討論非線性方程組?dx2222=?y0.05(xxy+?1)(xy+?4)??dt??dy=??x0.05(yxy22+?1)(xy22+?
8、4)??dt?xr=cosθ引入極坐標(biāo)??yr=sinθ后產(chǎn)生的極限環(huán)Γ1:1r=及Γ=2:2r的穩(wěn)定性。OrdinaryDifferentialEquations（2013-2014（1））目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束OrdinaryDifferenti
