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1、第二章插值法 (InterpolationMethod)已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（M）46674195014221634水溫（oC）7.044.283.402.542.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫。這就是本章要討論的“插值問題”例當精確函數(shù)y=f(x)非常復雜或未知時，在區(qū)間[a,b]上一系列節(jié)點x0…xm處測得函數(shù)值y0=f(x0),…,ym=f(xm)，由此構造一個簡單易算的近似函數(shù)g(x)?f(x)，滿足條件g(xj)=f(xj)(j=0,…,m)(*)這個問題稱為“插值問題”。
2、一、插值問題這里的g(x)稱為f(x)的插值函數(shù)。節(jié)點x0…xm稱為插值節(jié)點,條件(*)稱為插值條件，區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間。定義1x0x1x2x3x4xf(x)g(x)最常用的插值函數(shù)是…?代數(shù)多項式用代數(shù)多項式作插值函數(shù)的插值稱為代數(shù)插值本章主要討論的內(nèi)容插值函數(shù)的類型有很多種插值問題插值法插值函數(shù)一、插值問題解的存在唯一性？二、插值多項式的常用構造方法？三、插值函數(shù)的誤差如何估計？代數(shù)插值二、代數(shù)插值問題解的存在惟一性令只要證明pn(x)的系數(shù)a0,a1,…,an存在唯一即可,給定區(qū)間[a,b]上互異的n+1個點的一組函數(shù)值f(xj)，j=0,…,n,求
3、一個n次多項式pn(x)∈Pn,使得為此由插值條件知pn(x)的系數(shù)滿足下列n+1個代數(shù)方程構成的線性方程組:而ai(i=0,1,2,…,n)的系數(shù)行列式是Vandermonde行列式由于xi互異，所以上式右端不為零，從而方程組的解a0,a1,…an存在且唯一。為此我們必須從其它途徑來求pn(x)：不通過求解方程組而獲得插值多項式。通過解上述方程組求得插值多項式pn(x)的方法并不可取。這是因為當n較大時解方程組的計算量較大，而且方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)一般較大（可能是病態(tài)方程組）,當階數(shù)n越高時，病態(tài)越重。基本思想：在n次多項式空間Pn中找一組合適的基函數(shù)?0(x
4、),?1(x),…,?3(x),使不同的基函數(shù)的選取導致不同的插值方法Lagrange插值Newton插值三、插值多項式的構造方法知識點一n=1可見P1(x)是過(x0,y0)和(x1,y1)兩點的直線。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0+y1l0(x)l1(x)?==10)(iiiyxl§2Lagrange插值求n次多項式使得已知x0,x1;y0,y1，求一、構造基函數(shù)與節(jié)點有關，而與f無關這里每個lj(x)都是n次多項式，且容易驗證lj(x)滿足j=0,1,…，n知識點二插值基函數(shù)圖形n=1n=2對任意
5、的Ln(x)∈Pn，都有Ln(x)=c0l0(x)+c1l1(x)+…+cnln(x)其中c0,c1,…,cn為組合系數(shù)可以證明函數(shù)組l0(x)，l1(x)，…,ln(x)在插值區(qū)間［a,b］上線性無關，所以這n+1個函數(shù)可作為Pn的一組基函數(shù)，稱為Lagrange插值基函數(shù)由Lagrange插值基函數(shù)滿足，方程組變成因此得到插值多項式Ln(x)=f(x0)l0(x)+f(x1)l1(x)+…+f(xn)ln(x)記為Ln(x)＝?f(xj)lj(x)稱Ln(x)為n次Lagrange插值多項式知識點三二、插值余項/*Remainder*/Rolle’sTheo
6、rem的推論:若充分光滑，且存在使得定理1若在[a,b]內(nèi)存在,則在[a,b]上的n+1個互異的點，對f（x)所作的n次Lagrange插值多項式Ln(x)有誤差估計由于Rn(xi)＝0，i=0,1,…，n任意固定x?xi(i=0,…,n),考察?(t)有n+2個不同的根x0…xnx證明已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計算sin50?，并估計誤差。n=1分別利用x0,x1以及x1,x2計算?利用例1解?sin50?=0.7660444…利用x0,x1作為插值節(jié)點的實際誤差??0.01001?利用計算得：sin50??0.76008,利用x1,x
7、2作為插值節(jié)點的實際誤差?0.00596n=2?sin50?=0.7660444…2次插值的實際誤差?0.00061特殊地:有關于Langrange插值的幾點說明僅與已知數(shù)據(jù)有關，與的原來形式無關，但余式與密切相關。(1)即若本身是一個不超過n次的多項式，則(2)從角度觀察，內(nèi)插誤差要小些，即x位于x0,x1,…,xn之間。而外插有可能誤差變大，因此要慎用。(3)Langrange插值也有其不足為了提高精度有時需增加結點，但這時原來求的全改變,也就是原來的數(shù)據(jù)不能利用,浪費資源；(4)§3逐次線性插值用拉格朗日插值多項式Ln(x)計算函數(shù)近似值，如精度不滿足要求需
8、增加插值節(jié)
