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《復合函數(shù)的導數(shù)—2011屆高考數(shù)學導數(shù)復習課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、復合函數(shù)的導數(shù)一、復習與引入：1.函數(shù)的導數(shù)的定義與幾何意義.2.常見函數(shù)的導數(shù)公式.3.導數(shù)的四則運算法則.4.例如求函數(shù)y=(3x-2)2的導數(shù),那么我們可以把平方式展開,利用導數(shù)的四則運算法則求導.然后能否用其它的辦法求導呢?又如我們知道函數(shù)y=1/x2的導數(shù)是=-2/x3,那么函數(shù)y=1/(3x-2)2的導數(shù)又是什么呢?為了解決上面的問題,我們需要學習新的導數(shù)的運算法則,這就是復合函數(shù)的導數(shù).二、新課——復合函數(shù)的導數(shù)：1.復合函數(shù)的概念:對于函數(shù)y=f[(x)],令u=(x),若y=f(u)是中間變量u的函數(shù),u=(x)是自變量x的函數(shù),則稱y=f[(x)
2、]是自變量x的復合函數(shù).2.復合函數(shù)的導數(shù):設函數(shù)在點x處有導數(shù),函數(shù)y=f(u)在點x的對應點u處有導數(shù),則復合函數(shù)在點x處也有導數(shù),且或記如:求函數(shù)y=(3x-2)2的導數(shù),我們就可以有,令y=u2,u=3x-2,則從而.結果與我們利用導數(shù)的四則運算法則求得的結果完全一致.在書寫時不要把寫成,兩者是不完全一樣的,前者表示對自變量x的求導,而后者是對中間變量的求導.3.復合函數(shù)的求導法則:復合函數(shù)對自變量的導數(shù),等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù),乘以中間變量對自變量的導數(shù).法則可以推廣到兩個以上的中間變量.求復合函數(shù)的導數(shù),關鍵在于分清函數(shù)的復合關系,合理選定中間變量
3、,明確求導過程中每次是哪個變量對哪個變量求導,一般地,如果所設中間變量可直接求導,就不必再選中間變量.復合函數(shù)的求導法則與導數(shù)的四則運算法則要有機的結合和綜合的運用.要通過求一些初等函數(shù)的導數(shù),逐步掌握復合函數(shù)的求導法則.三、例題選講：例1:求下列函數(shù)的導數(shù):解:設y=u5,u=2x+1,則:解:設y=u-4,u=1-3x,則:解:設y=u-4,u=1+v2,v=sinx,則:說明:在對法則的運用熟練后,就不必再寫中間步驟.例2:求下列函數(shù)的導數(shù):(1)y=(2x3-x+1/x)4;解:(3)y=tan3x;解:(2)解:(4)解:(5):y=sin2(2x+π/3
4、)法一:法二:練習1:求下列函數(shù)的導數(shù):答案:例3:如果圓的半徑以2cm/s的等速度增加,求圓半徑R=10cm時,圓面積增加的速度.解:由已知知:圓半徑R=R(t),且=2cm/s.又圓面積S=πR2,所以=40π(cm)2/s.故圓面積增加的速度為40π(cm)2/s.例4:在曲線上求一點,使通過該點的切線平行于x軸,并求此切線的方程.解:設所求點為P(x0,y0).則由導數(shù)的幾何意義知:切線斜率把x0=0代入曲線方程得:y0=1.所以點P的坐標為(0,1),切線方程為y-1=0.例5:求證雙曲線C1:x2-y2=5與橢圓C2:4x2+9y2=72在交點處的切線互
5、相垂直.證:由于曲線的圖形關于坐標軸對稱,故只需證明其中一個交點處的切線互相垂直即可.聯(lián)立兩曲線方程解得第一象限的交點為P(3,2),不妨證明過P點的兩條切線互相垂直.由于點P在第一象限,故由x2-y2=5得同理由4x2+9y2=72得因為k1k2=-1,所以兩條切線互相垂直.從而命題成立.例6:設f(x)可導,求下列函數(shù)的導數(shù):(1)f(x2);(2)f();(3)f(sin2x)+f(cos2x)解:說明:對于抽象函數(shù)的求導,一方面要從其形式是把握其結構特征,另一方面要充分運用復合關系的求導法則.我們曾經(jīng)利用導數(shù)的定義證明過這樣的一個結論:“可導的偶函數(shù)的導函數(shù)
6、為奇函數(shù);可導的奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)”.現(xiàn)在我們利用復合函數(shù)的導數(shù)重新加以證明:證:當f(x)為可導的偶函數(shù)時,則f(-x)=f(x).兩邊同時對x求導得:,故為奇函數(shù).同理可證另一個命題.我們還可以證明類似的一個結論:可導的周期函數(shù)的導函數(shù)也是周期函數(shù).證:設f(x)為可導的周期函數(shù),T為其一個周期,則對定義域內(nèi)的每一個x,都有f(x+T)=f(x).兩邊同時對x求導得:即也是以T為周期的周期函數(shù).例7:求函數(shù)的導數(shù).說明:這是分段函數(shù)的求導問題,先根據(jù)各段的函數(shù)表達式,求出在各可導(開)區(qū)間的函數(shù)的導數(shù),然后再用定義來討論分段點的可導性.解:當x≠1時,.又,
7、故f(x)在x=1處連續(xù).而從而f(x)在x=1處不可導.四、小結：利用復合函數(shù)的求導法則來求導數(shù)時,選擇中間變量是復合函數(shù)求導的關鍵.必須正確分析復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復合而成的,分清其間的復合關系.要善于把一部分量、式子暫時當作一個整體,這個暫時的整體,就是中間變量.求導時需要記住中間變量,注意逐層求導,不遺漏,而其中特別要注意中間變量的系數(shù),求導后,要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù).在上面的例子中涉及到了二次曲線在某點的切線問題,但在上面的解法中回避了點在第二、三、四象限的情況.可能有同學會提出對于二次曲線在任意點的切線怎樣求的問題,由于它涉
