橢圓離心率求法總結(jié)

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1、.橢圓離心率的解法一、運(yùn)用幾何圖形中線段的幾何意義?；A(chǔ)題目：如圖，O為橢圓的中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線L交OA于B，P、Q在橢圓上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,設(shè)橢圓的離心率為e，則①e=②e=③e=④e=⑤e=DBFOBBBAPQ評(píng)：AQP為橢圓上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的第二定義得，①②④。∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜=∴有③。題目1：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1、F2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則橢圓的離心率e？BAF2F1思路：A點(diǎn)在橢圓外，找a、b、c的關(guān)系應(yīng)借助橢圓，所以取AF2

2、的中點(diǎn)B，連接BF1,把已知條件放在橢圓內(nèi)，構(gòu)造△F1BF2分析三角形的各邊長(zhǎng)及關(guān)系。解：∵｜F1F2｜=2c｜BF1｜=c｜BF2｜=cc+c=2a∴e==-1..變形1：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，使△OPF1為正三角形，求橢圓離心率？OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2F2F22解：連接PF2,則｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°圖形如上圖，e=-1變形2:橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1、F2，AB為橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF1⊥X軸，PF2∥AB,求橢圓離心率？BAF2F1P

3、O解：∵｜PF1｜=｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA｜=aPF2∥AB∴=又∵b=∴a2=5c2e=點(diǎn)評(píng)：以上題目，構(gòu)造焦點(diǎn)三角形，通過(guò)各邊的幾何意義及關(guān)系，推導(dǎo)有關(guān)a與c的方程式，推導(dǎo)離心率。二、運(yùn)用正余弦定理解決圖形中的三角形題目2：橢圓+=1(a>b>0)，A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，∠ABF=90°，求e?..FBAO解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0兩邊同除以a2e2+e-1=0e=e=(舍去)變形：橢圓+=1(a>b>0)，e=,A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是

4、右焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，求∠ABF？點(diǎn)評(píng)：此題是上一題的條件與結(jié)論的互換，解題中分析各邊，由余弦定理解決角的問(wèn)題。答案：90°引申：此類(lèi)e=的橢圓為優(yōu)美橢圓。性質(zhì)：1、∠ABF=90°2、假設(shè)下端點(diǎn)為B1,則ABFB1四點(diǎn)共圓。3、焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線之間的距離等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng)?？偨Y(jié)：焦點(diǎn)三角形以外的三角形的處理方法根據(jù)幾何意義，找各邊的表示，結(jié)合解斜三角形公式，列出有關(guān)e的方程式。題目3：橢圓+=1(a>b>0)，過(guò)左焦點(diǎn)F1且傾斜角為60°的直線交橢圓與AB兩點(diǎn)，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e?解：設(shè)｜BF1｜=m則｜AF2｜=2a-am｜BF2｜=2a-m在△

5、AF1F2及△BF1F2中，由余弦定理得：兩式相除=e=題目4：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1（-c，0）、F2(c,0)，P是以｜F1F2｜為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且∠PF1F2=5∠PF2F1,求e?分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應(yīng)用。解：由正弦定理：==根據(jù)和比性質(zhì)：=..變形得：====e∠PF1F2=75°∠PF2F1=15°e==點(diǎn)評(píng)：在焦點(diǎn)三角形中，使用第一定義和正弦定理可知e=變形1：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1（-c，0）、F2(c,0)，P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，求e的取值范圍？分析：上題公式直接應(yīng)

6、用。解：設(shè)∠F1F2P=α，則∠F2F1P=120°-αe===≥∴≤e<1變形2：已知橢圓+=1(t>0)F1F2為橢圓兩焦點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)（M不與長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)重合）設(shè)∠PF1F2=α,∠PF2F1=β若b>0)，斜率為1，且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，+與=(3,-1)共線，求e?..B(X2,Y2)A(X1,Y1)O法一：設(shè)A(

7、x1,y1),B(x2,y2)(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0x1+x2=y1+y2=-2c=+=(x1+x2,y1+y2)與（3，-1）共線，則-（x1+x2）=3(y1+y2)既a2=3b2e=法二：設(shè)AB的中點(diǎn)N，則2=+①-②得：=-∴1=-(-3)既a2=3b2e=三、由圖形中暗含的不等關(guān)系，求離心率的取值范圍。題目6：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1（-c，0）、F2(c,0)，滿(mǎn)足1·2=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則e的取值范圍？F2MF1O..分析：∵1·2=0∴以F1F2為直徑作圓，M在圓O上，與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)。解：∴c<

8、ba2=b2+c2>2c