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《有限元法基礎(chǔ)講稿-第11講新doc.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…平面問題有限元法等效節(jié)點載荷有限單元法分析只采用節(jié)點載荷，作用于單元上的非節(jié)點載荷都必須移置為等效節(jié)點載荷?？梢勒侦o力等效原則，即原載荷與等效節(jié)點載荷在虛位移上所作的虛功相等，求等效節(jié)點載荷。(1)集中力的移置。設(shè)單元ijm內(nèi)坐標(biāo)為(x，y)的任意一點M受有集中載荷f=[fxfy]T，移置為等效節(jié)點載荷Pe=[XiYiXjYjXmYm]T。假想單元發(fā)生了虛位移，其中，M點虛位移為u*=NT(δ*)e，其中(δ*)e為單元節(jié)點虛位移。按照靜力等效原則有則(2)體力的移置。設(shè)單元承受有分布體
2、力，單位體積的體力記為q＝[qxqy]T，其等效節(jié)點荷載為(2-1-17)(2-1-18)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…平面問題有限元法(3)面力的移置。設(shè)在單元的某一個邊界上作用有分布的面力，單位面積上的面力為p=[pxpy]T，在此邊界上取微面積tds，對整個邊界面積分，得到例1-1求單元在以下受力情況下的等效節(jié)點荷載：y方向的重力為G、圖2-2所示ij邊受x方向均布力p、圖2-3所示jm邊受x方向線性分布力。圖2-2均布力圖2-3線性分布力(2-1-19)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…平面問題有限元法求解利用上述公
3、式求等效節(jié)點載荷，當(dāng)原載荷是分布體力或面力時，進行積分運算是比較繁瑣的。但在線性位移模式下，可以按照靜力學(xué)中力的分解原理直接求出等效節(jié)點載荷，上述三種情況等效節(jié)點荷載分別為結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…平面問題有限元法整體分析結(jié)構(gòu)的整體分析就是將離散后的所有單元通過節(jié)點連接成原結(jié)構(gòu)物進行分析，分析過程是將所有單元的單元剛度方程組集成總體剛度方程，引進邊界條件后求解整體節(jié)點位移向量?？傮w剛度方程實際上就是所有節(jié)點的平衡方程，由單元剛度方程組集總體剛度方程應(yīng)滿足以下兩個原則：（4）各單元在公共節(jié)點上協(xié)調(diào)地彼此連接，即在公
4、共節(jié)點處具有相同的位移。由于基本未知量為整體節(jié)點位移向量，這一點已經(jīng)得到滿足。（5）結(jié)構(gòu)的各節(jié)點離散出來后應(yīng)滿足平衡條件，也就是說，環(huán)繞某一節(jié)點的所有單元作用于該節(jié)點的節(jié)點力之和應(yīng)與該節(jié)點的節(jié)點載荷平衡。每一節(jié)點統(tǒng)一使用整體節(jié)點編號（如圖2-4所示），第4單元節(jié)點編號i、j、m統(tǒng)一依次改為8、7、5。確定各單元的大域變換矩陣，如第4單元為結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…平面問題有限元法其中，I為2×2階單位矩陣。求出各單元剛度矩陣，利用大域變換法求出結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣[K]，引入邊界條件，得到結(jié)構(gòu)的節(jié)點平衡方程進而，求解
5、節(jié)點位移、單元應(yīng)力和應(yīng)變。圖2-4節(jié)點與單元編號(2-1-19)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…平面問題有限元法例1-2如圖2-5所示，一懸臂梁，自由端受合力為P的均布力作用，梁厚t=1，μ=1/3，求節(jié)點位移。求解結(jié)構(gòu)為平面應(yīng)力問題，劃分為2個三角形單元①、②，有四個節(jié)點1、2、3、4，坐標(biāo)分別為（0，0）、（2，0）、（2，1）、（0，1）。單元①、②節(jié)點順序分別取3、1、2和1、3、4，剛度矩陣完全一樣。對單元①：bi=0，bj=－1，bm=1，ci=2，cj=0，cm=－2。對單元②：bi=0，bj=1，bm=
6、－1，ci=-2，cj=0，cm=2。單元的剛度矩陣為圖2-5結(jié)構(gòu)與離散結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…平面問題有限元法利用大域變換法求出整體剛度矩陣為結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…平面問題有限元法節(jié)點荷載向量為P=[000－P/20－P/2000]T位移向量為δ=[u1v1u2v2u3v3u4v4]T由結(jié)構(gòu)平衡方程求得節(jié)點位移為結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…平面問題有限元法平面問題高次單元如前所述，三節(jié)點三角形單元因其位移模式是線性函數(shù)，應(yīng)變與應(yīng)力在單元內(nèi)都是常量，而彈性體實際的應(yīng)力場是隨坐標(biāo)而變化的。因此，這種單元在各單元
7、間邊界上應(yīng)力有突變，存在一定誤差。為了更好地逼近實際的應(yīng)變與應(yīng)力狀態(tài)，提高單元本身的計算精度，可以增加單元節(jié)點而采用更高階次的位移模式，稱為平面問題高次單元。如六節(jié)點三角形單元、矩形單元等。這里只介紹六節(jié)點三角形單元與矩形單元的位移模式，其它單元的位移模式和具體求解步驟與三節(jié)點三角形單元類似，且應(yīng)用較少，不在贅述。六節(jié)點三角形單元如圖2-6所示，在三角形單元各邊中點處增加一個節(jié)點，則每個單元有六個節(jié)點，共有12個自由度。位移模式的項數(shù)應(yīng)與自由度數(shù)相當(dāng)，階次應(yīng)選得對稱以保證幾何各向同性。其位移模式應(yīng)取完全二次多項式
8、結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…平面問題有限元法將節(jié)點的坐標(biāo)和位移代入即可求出廣義坐標(biāo)。四節(jié)點矩形單元如圖2-7所示，共有8個自由度，取位移模式為將節(jié)點的坐標(biāo)和位移代入即可求出廣義坐標(biāo)。圖2-6六節(jié)點三角形單元圖2-7四節(jié)點矩形單元(2-1-20)(2-1-21)
