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《微分幾何 2.7 常高斯曲率的曲面.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第七節(jié)常高斯曲率的曲面7.1常高斯曲率的曲面設曲面S：r=r(u,v)的高斯曲率為常數(shù)，在曲面上任取點P和過P點的任意測地線(C),把(C)作為坐標曲線u=0,即v線中的一條，且從P點起的弧長為v，取與（C）正交的測地線簇為u線，取這簇測地線的正交軌線（包含（C））為v線，則得到一半測地坐標網(wǎng)，因此曲面的第一基本形式可寫為由假設v為曲線的弧長，所以由第五節(jié)習題知，對于半測地坐標網(wǎng)，根據(jù)初始條件這個微方程的通解可按高斯曲率的符號分為三種情況：以上三種情形可從微分方程的理論中推得，例如：（1）正常數(shù)高斯曲率（K>0）的曲面，方程的通解為這里A(v),B(v)都
2、是v的函數(shù)，由初始條件可得A(v)=1，,B(v)=0。第一基本形式為例：球心在原點，半徑為R的球面。（2）K=0，則微方程的通解為，由初始條件得因此與平面的第一基本形式相同，或者說與平面等距。（3）K<0，則微分方程的解為由初始條件得下一節(jié)討論這種情形。A(v)=1，,B(v)=07.2偽球面（負高斯曲率的曲面）1、定義：設曲線（C）上任一點的切線上介于切點和z軸之間的線段始終保持定長a，此曲線稱為曳物線，z軸稱為它的漸近線。2、曳物線的方程設它的參數(shù)表示為x=x(t),z=z(t),曲線上一點P(x,z)的切線的的方向為，故切線上一點的坐標是如果這點在
3、oz軸上，則橫坐標為0，即求得曲線在P點的切線與z軸的交點的坐標為由兩點間距離公式得令x=asint并兩邊積分得曳物線方程為：3、偽球面將ozx平面上的曳物線繞oz由旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面叫偽球面，它的參數(shù)表示為計算知因此它的坐標曲線網(wǎng)是一個半測在坐標網(wǎng)，u線是測地線，其高斯曲率為所以偽球面為負高斯曲率的曲面。這樣我們得到：常高斯曲率的曲面有：當K>0時，曲面與球面等距，K=0時與平面等距，K<0時與偽球面等距。4、命題：若通過偽球面的第一基本形式把它經(jīng)過保角變換映射到平面上，則偽球面的測地線對應于園心在x軸上的園。要證明這個命題，先作保角變換：與平面第一基
4、本形式成比例，因此從曲面上的點到平面上的點的變換是保角變換。現(xiàn)在來看看它的測地線：現(xiàn)在代入測地線方程有K=1時，K=2時，所以測地線方程為由第一式由第二式積分之除以得積分整理得這是xoy平面上園心在x軸上的園的方程，命題得到證明。下面考慮xoy平面上在x軸上方的半平面，我們稱之為羅氏平面，偽球面上的測地線經(jīng)過保角變換映成羅氏平面上園心在x軸上的半園，我們把這半園稱為羅氏直線，因此經(jīng)過羅氏平面上任兩點P1到P2正好有一條羅氏直線連結它們，通過保角變換，過偽球面上任兩點，也就有唯一條測地線連結它們。7、3羅氏幾何1、羅氏平面上的距離設是羅氏平面上的兩點，通過保
5、角變換，它們對應偽球面上兩點，連結這兩點有唯一條測地線，我們把這兩對應點之間的測地線的弧長定義為P1到P2的羅氏距離。由得積分沿著P1和P2對應的偽球面上兩點之間的唯一測地線進行，注意到測地線的方程為作坐標變換設羅氏直線P1P2與x軸的交點為P0和P∞，由于這四點在一園周上，我們定義它們的非調(diào)和比，在園上取一點S，因此羅氏距離公式為定義當或時，交比，所以可以認為x軸上的點或是羅氏直線上的“無窮遠點”，也就是說，x軸是羅氏平面上的“無窮遠線”。2、羅氏平面上的平行線羅氏平面上的直線l就是園心在x軸上的上半園，它交x軸于P0和P∞兩點。設P是羅氏平面上在直線l
6、外的任一點，則過P和P0有一條羅氏直線l0，過P和P∞有一條羅氏直線l∞，直線l與直線l0交于“無窮遠點”P0，因此可以認為直線l與直線l0是平行的，同理直線l,l∞也是平行的。見圖因此在羅氏平面上，過直線l外一點P可以作兩條直線l0和l∞平行于于直線l，因而在羅氏平面上歐氏幾何的平行公理不成立。3、羅氏平面上的運動把定義了笛卡爾直角坐標(x,y)的平面看成復平面，平面上的點(x,y)對應一個復數(shù)z=x+iy，羅氏平面對應于y≥0的上半復平面，在復平面上作線性變換其中p,q,r,s是實數(shù)，且，由復函知，這是復平面上的保角變換，它使上半復平面變?yōu)樯习霃推矫妗?/p>
7、現(xiàn)在證明這個變換就是羅氏平面上的等距變換。即有由線性變換得所以即第二章總結
