O第1章 前言.ppt

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1、線性代數(shù)1代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要處理線性關(guān)系問題。線性關(guān)系即數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系是以一次形式來表達(dá)的。例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個(gè)平面相交，由兩個(gè)三元一次方程所組成的方程組來表示。含有n個(gè)未知量的一次方程稱為線性方程。關(guān)于變量是一次的函數(shù)稱為線性函數(shù)。線性關(guān)系問題簡稱線性問題。解線性方程組是最簡單的線性問題。2線性代數(shù)作為獨(dú)立的分支直到20世紀(jì)才形成，然而它的歷史卻非常久遠(yuǎn)。最古老的線性問題是線性方程組的解法，在中國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·方程》章中，已

2、經(jīng)作了比較完整的敘述，其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對方程組的增廣矩陣的行施行初等變換，消去未知量的方法。隨著研究線性方程組和變量的線性變換問題的深入，行列式和矩陣在18～19世紀(jì)期間先后產(chǎn)生，為處理線性問題提供了有力的工具，從而推動(dòng)了線性代數(shù)的發(fā)展。3向量概念的引入，形成了向量空間的概念。凡是線性問題都可以用向量空間的觀點(diǎn)加以討論。因此，向量空間及其線性變換，以及與此相聯(lián)系的矩陣?yán)碚?，?gòu)成了線性代數(shù)的中心內(nèi)容。線性代數(shù)的含義隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷擴(kuò)大。線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支。比如，“以直代曲”是人們處理很

3、多數(shù)學(xué)問題時(shí)一個(gè)很自然的思想。很多實(shí)際問題的處理，最后往往歸結(jié)為線性問題，它比較容易處理。同時(shí)也是理論物理和理論化學(xué)所不可缺少的代數(shù)基礎(chǔ)知識。4因此，線性代數(shù)在工程技術(shù)和國民經(jīng)濟(jì)的許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，是一門基本的和重要的學(xué)科。線性代數(shù)的計(jì)算方法是計(jì)算數(shù)學(xué)里一個(gè)很重要的內(nèi)容。5§1.1若干典型問題§1.2矩陣及其初等變換§1.3解線性方程組的消元法第一章解線性方程組的消元法與矩陣的初等變換6§1若干典型問題線性方程組它的解取決于系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)故對線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對這張表的研究。引例17引例2某航空公司在A,B,C,

4、D四城市之間開辟了若干航線,如圖所示的四城市間的航班圖,如果從A到B有航班,則用帶箭頭的線連接A與B。四城市間的航班圖情況常用以下表格來表示:0010D1001C0101B0110ADCBA到站發(fā)站1表示有航班,0表示沒有航班8線性代數(shù)研究對象——線性方程組線性代數(shù)研究工具——矩陣線性代數(shù)研究方法——矩陣的初等變換9§1.1若干典型問題§1.2矩陣及其初等變換§1.3解線性方程組的消元法第一章解線性方程組的消元法與矩陣的初等變換10矩陣誕生于19世紀(jì)，晚于行列式約一百年。從表面上看，矩陣與行列式不過是一種數(shù)學(xué)語言和書記符號；

5、但是，正是這種“結(jié)構(gòu)好的語言的好處，它的簡潔的記法常常是深?yuàn)W理論的源泉。”(P.S.Laplace)進(jìn)入20世紀(jì)，線性代數(shù)的發(fā)展曾一度被認(rèn)為相當(dāng)成熟，作為研究課題已壽終正寢。隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，各種快速算法相繼涌現(xiàn)，矩陣數(shù)值分析快速發(fā)展，矩陣?yán)碚撗芯窟M(jìn)入一個(gè)新的發(fā)展階段。§2矩陣及其初等變換11為表示它是一個(gè)整體，總是加一個(gè)括號，并用大寫字母記之。定義12(1)1×1的矩陣就是一個(gè)數(shù)。(2)行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A，稱為n階方陣或n階矩陣。(3)只有一行的矩陣稱為行矩陣或n維行向量。ai稱為A的第i個(gè)分量。稱為列矩陣或m

6、維列向量。ai稱為A的第i個(gè)分量。(4)只有一列的矩陣13(5)元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為O。(6)矩陣(約定未寫出元素全為零)稱為單位矩陣。(7)矩陣稱為對角矩陣。記作14定義設(shè)，如果(此時(shí)稱A與B是同型矩陣)且則稱A與B相等，記作A=B。問：與相等嗎？15稱矩陣的下面三種變換為初等行變換(1)交換矩陣的某兩行，記為(2)以不等于０的數(shù)乘矩陣的某一行，記為(3)把矩陣的某一行乘上一個(gè)數(shù)加到另一行上，記為類似定義三種初等列變換以上六種變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換定義16初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．初等列變

7、換也有類似的結(jié)果…逆變換逆變換逆變換17初等變換的作用？定義行階梯形矩陣及行最簡(階梯)形矩陣(行最簡形就是所謂的最簡單的“代表”)書P5定義4行階梯形矩陣18行最簡階梯形矩陣（1）臺階左下方元素全為零；（2）每個(gè)臺階上只有一行；（3）每個(gè)臺階上第一個(gè)元素不為零。行階梯形矩陣：行最簡階梯形(1)(2)(3)+(4)臺階上的第一個(gè)元素為1,且其所在列其它元素全為零。19只用初等行變換必能將矩陣化為行階梯形，從而再化為行最簡形。行階梯形不唯一，行最簡形唯一。書P6定理1.1.1定理例120化階梯形：從上到下，從左到右,化最簡形：

8、從下向上，從右到左。21(等價(jià)關(guān)系)定義如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價(jià)，記作。等價(jià)滿足：自反性：(2)對稱性：(3)傳遞性：22§1.1若干典型問題§1.2矩陣及其初等變換§1.3解線性方程組的消元法第一章解線性方程組的消元法與矩陣的初等變換23§3解線性方程組