基于彈性接觸的共軛梯度算法.pdf

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1、第34卷第2期重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2017年4月Vol．34NO．2JChongqingTechnolBusinessUniv.(NatSciEd)Apr．2017doi:10．16055/j．issn．1672－058X．2017．0002．013基于彈性接觸的共軛梯度算法余小剛，杜俊懷(南京理工大學(xué)理學(xué)院，南京210094)摘要:為了解決有約束的基于共軛梯度二次規(guī)劃算法的多次迭代問(wèn)題，結(jié)合共軛梯度算法和有效集策略，提出了一個(gè)新的算法模型，通過(guò)對(duì)變量的截取(使用Polak-Bibiere公式)來(lái)避免重新開(kāi)

2、始共軛梯度算法，在大規(guī)模的彈性接觸問(wèn)題中，大量的結(jié)果表明了這個(gè)算法的有效性。關(guān)鍵詞:凸規(guī)劃;條件約束;共軛梯度算法;有效集策略;彈性接觸問(wèn)題中圖分類(lèi)號(hào):F224．7文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A文章編號(hào):1672-058X(2017)02-0060-05兩個(gè)彈性體接觸時(shí)會(huì)發(fā)生形變，這時(shí)就產(chǎn)生了效集策略里出現(xiàn)的線性系統(tǒng)問(wèn)題通常都是用共軛形變勢(shì)能和外力勢(shì)能，由平衡狀態(tài)時(shí)的總勢(shì)能處于梯度算法來(lái)求解。更簡(jiǎn)單的考慮是利用不精確的極小值的條件導(dǎo)出變分方程，就得到有約束的一個(gè)解，在精確解求出來(lái)之前停止迭代，共軛梯度算法二次凸規(guī)劃問(wèn)題。在滿足連續(xù)性

3、以及接觸面不可和有效集策略相互交織一起使用。穿透條件的所有位移場(chǎng)中，接觸物體的物理狀態(tài)滿目前，基于共軛梯度法的一些算法需要很多次足最小化屬性。迭代，這些算法在擴(kuò)大有效集的時(shí)候顯得格外謹(jǐn)針對(duì)二次規(guī)劃和更一般的凸規(guī)劃，有許多的解慎，而且被多次重啟共軛梯度算法所阻礙，這是有決策略，主要有內(nèi)點(diǎn)法和有效集策略(HagerW效集策略帶來(lái)的缺點(diǎn)。如果過(guò)大地改變有效集，就［1-2］(2006)，BertsekasD(1999))。由于后面一種算可能導(dǎo)致在迭代過(guò)程中出現(xiàn)死循環(huán)。這意味著有法在處理問(wèn)題的時(shí)候更簡(jiǎn)單，所以更受青睞。有效效集

4、算法在迭代過(guò)程中，可能過(guò)一個(gè)周期后，就會(huì)集策略在解決凸規(guī)劃問(wèn)題中，利用了一系列的子問(wèn)找到之前迭代的點(diǎn)，這樣一直循環(huán)，從而找不到最題，其中不等式約束(非有效約束)被忽略，簡(jiǎn)單地優(yōu)解。用等式(有效約束)來(lái)替代。針對(duì)凸規(guī)劃這些子問(wèn)題有更簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，因?yàn)榧s束條件都是等式約束，1問(wèn)題構(gòu)造最優(yōu)解只需要滿足這些等式約束即可。針對(duì)凸規(guī)劃，有效集策略還有一個(gè)更好的特性，即算法中采1．1連續(xù)問(wèn)題構(gòu)造用的變量可以很好地解釋其物理意義。所考慮的兩個(gè)接觸物體具有各向同性、均勻和在解決大型的線性系統(tǒng)AX=b的問(wèn)題中(A是完全彈性的要求，接觸面相

5、對(duì)于物體本身的尺寸是［3-4］α正定矩陣)，共軛梯度算法是一個(gè)非常重要的方很小的(集中接觸)。外表面法線被定義為n，其中法。它使用起來(lái)比較簡(jiǎn)單，收斂性也很好，收斂速α=1，2是物體的編號(hào)。外表面法線幾乎穿過(guò)所有度是典型的超線性收斂。平常應(yīng)用時(shí)通常會(huì)引進(jìn)接觸面，參考點(diǎn)就選在接觸面上或接觸面附近。定2一些預(yù)設(shè)條件來(lái)進(jìn)一步提高它的收斂速度，因此有義一個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系oxyz，其中z軸和n的方向一收稿日期:2016－05－11;修回日期:2016－10－28．作者簡(jiǎn)介:余小剛(1990－)，男，安徽安慶人，碩士，從事非線性最優(yōu)

6、化研究．第2期余小剛，等:基于彈性接觸的共軛梯度算法61致，都指向物體Ⅰ。sub．p(x)≥0，X∈H(5)兩個(gè)物體接觸面上一個(gè)接觸點(diǎn)對(duì)X的位移記對(duì)φ離散化，得到一個(gè)典型凸二次規(guī)劃問(wèn)題，由庫(kù)αα作u(X)，應(yīng)力記為p(X)。兩個(gè)接觸的物體，對(duì)接恩-塔克最優(yōu)條件，得到其線性互補(bǔ)問(wèn)題。(2)(1)觸面上的任一點(diǎn)有p(X)=－p(X)總是成立的，所1．2離散化(2)以可以不考慮p(x)，只考慮單變量p(X)=為了解決這個(gè)問(wèn)題的離散化，最方便的是用矩(1)p(X)。進(jìn)一步，由于位移在法線方向上不同，所(1)(2)形H=［x

7、1，xh］×［y1，yh］將潛在接觸面離散化，分成以引進(jìn)一個(gè)相對(duì)位移，u(X)=u(X)－u(X)。n=mx·my個(gè)小矩形，每一個(gè)小矩形的尺寸為δx×本篇文章中，考慮的是無(wú)摩擦的正常彈性接觸δy。每一個(gè)元素可以通過(guò)二維指數(shù)(ix，iy)表示，也可問(wèn)題，主要考慮p和u在法線方向上的分量。在未發(fā)生變形時(shí)定義幾何平面作為參考平面，以通過(guò)字典序號(hào)i=ix+(iy－1)·my表示。對(duì)每一個(gè)i，它決定了是屬于接觸區(qū)ε域還是外部區(qū)域瓘。式兩個(gè)物體表面上的點(diǎn)相對(duì)于參考平面的距離為h1(x，y)和h2(x，y)，于是給出未變形的距離h

8、=h(1)－(1)—(4)通過(guò)插入恒定的應(yīng)力使得問(wèn)題離散化，得(2)到一個(gè)熟悉的凸規(guī)劃:h，所以兩個(gè)面的間隙(距離)在接觸后為e=h+u(1)1TTminφ(p)=pAp+ph(6)p2主要關(guān)注的情況為h是完全確定的，不同的情況對(duì)應(yīng)不同h值。對(duì)于平面oxy定義一個(gè)子集H作sub．pi≥0，i=1，…，n(7)為可能潛在的接觸面，這個(gè)區(qū)域分為實(shí)際