lec8_MonteCarlo_method.ppt

《lec8_MonteCarlo_method.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、蒙特卡羅(MonteCarlo)方法蒙特卡羅方法，或稱計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于“隨機(jī)數(shù)”的計(jì)算方法。該方法源于美國在WWI后研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”。S.M.Ulam(1908-1984)和該計(jì)劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼（J.vonNeumann）用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來命名這種方法。蒙特卡羅方法其基本思想很早以前就被人們所發(fā)現(xiàn)和利用：17世紀(jì)，用事件發(fā)生的“頻率”來決定事件的“概率”；19世紀(jì)人們用投針試驗(yàn)的方法來決定π。高速計(jì)算機(jī)：用數(shù)學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上大量模擬這樣的試驗(yàn)必要性科技計(jì)算及社會(huì)中的問題比計(jì)算π要復(fù)雜得多

2、。比如金融衍生產(chǎn)品（期權(quán)、期貨、掉期等）的定價(jià)及交易風(fēng)險(xiǎn)估算，問題的維數(shù)（即變量的個(gè)數(shù)）可能高達(dá)數(shù)百甚至數(shù)千。對(duì)這類問題，難度隨維數(shù)的增加呈指數(shù)增長，這就是所謂的“維數(shù)的災(zāi)難”(CurseofDimensionality)，傳統(tǒng)的數(shù)值方法難以對(duì)付（即使使用速度最快的計(jì)算機(jī)）。MonteCarlo方法能很好地用來對(duì)付維數(shù)的災(zāi)難，因?yàn)樵摲椒ǖ挠?jì)算復(fù)雜性不再依賴于維數(shù)。以前那些本來是無法計(jì)算的問題現(xiàn)在也能夠計(jì)算量。為提高方法的效率，科學(xué)家們提出了許多所謂的“方差縮減”技巧。歷史隨機(jī)抽樣方法可以追溯到１８世紀(jì)后半葉的蒲豐（Buffon）隨機(jī)投針試驗(yàn)，蒲豐發(fā)現(xiàn)了隨機(jī)投

3、針的概率與π之間的關(guān)系。但是一般是將Metropolis和Ulam在１９４９年發(fā)表的論文作為MC方法誕生的標(biāo)志。２０世紀(jì)４０年代是電子計(jì)算機(jī)問世的年代，也是研制原子彈的年代。原子彈的研制過程涉及大量復(fù)雜的理論和技術(shù)問題，如中子運(yùn)輸和輻射運(yùn)輸?shù)任锢磉^程?？茖W(xué)家們在解決中子運(yùn)輸?shù)葐栴}時(shí)，將隨機(jī)抽樣方法與計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合，從而產(chǎn)生了MonteCarlo方法發(fā)展MonteCarlo（MC）方法是在簡單的理論準(zhǔn)則基礎(chǔ)上（如簡單的物質(zhì)與物質(zhì)以及物質(zhì)與環(huán)境相互作用），采用反復(fù)隨機(jī)抽樣的手段，解決復(fù)雜系統(tǒng)的問題。該方法采用隨機(jī)抽樣的手法，可以模擬對(duì)象的概率與統(tǒng)計(jì)的問題。通過

4、設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?，該方法還可以解決確定性問題，如定積分等。隨著計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展，MC方法已在應(yīng)用物理、原子能、固體物理、化學(xué)、材料、生物、生態(tài)學(xué)、社會(huì)學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。MonteCarlo特點(diǎn)MonteCarlo方法與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法相比，具有直觀性強(qiáng)、簡便易行的優(yōu)點(diǎn)。該方法能處理一些其他方法無法解決的復(fù)雜問題，并且容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，特別是在計(jì)算機(jī)高度發(fā)展的今天，該方法能夠解決很多理論和應(yīng)用科學(xué)問題，在很大程度上可以代替許多大型的、難以實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜試驗(yàn)或社會(huì)行為過程MonteCarlo基本思想MonteCarlo方法的基本思想是，為了求解某個(gè)

5、問題，建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ突螂S機(jī)過程，使得其參量（如事件的概率、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望等）等于所求問題的解，然后對(duì)模型或過程進(jìn)行反復(fù)多次的隨機(jī)抽樣試驗(yàn)，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，最后計(jì)算所求參量，得到問題的近似解。MonteCarlo方法是隨機(jī)模擬方法；但是，它不僅限于模擬隨機(jī)性問題，還可以解決確定性的數(shù)學(xué)問題。對(duì)隨機(jī)性問題，可以根據(jù)實(shí)際問題的概率法則，直接進(jìn)行隨機(jī)抽樣試驗(yàn)，即直接模擬方法。對(duì)于確定性問題采用間接模擬方法，即通過統(tǒng)計(jì)分析隨機(jī)抽樣的結(jié)果獲得確定性問題的解。MonteCarlo應(yīng)用領(lǐng)域用MonteCarlo方法解決確定性的問題主要是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如計(jì)算重

6、積分、求逆矩陣、解線性代數(shù)方程組、解積分方程、解偏微分方程邊界問題和計(jì)算微分算子的特征值等。用MonteCarlo方法解決隨機(jī)性問題則在眾多的科學(xué)及應(yīng)用技術(shù)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用，如中子在介質(zhì)中的擴(kuò)散問題、庫存問題、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的排隊(duì)問題、動(dòng)物的生態(tài)競爭、傳染病的蔓延等。MonteCarlo方法在材料計(jì)算領(lǐng)域的應(yīng)用也主要是解決隨機(jī)性問題。簡單例子Simpleexample:EvaluatetheareaofonecycleorPIfromnumericalevaluation(dartboardmethod)Partitionthespaceintogrids

7、fornumericalevaluationTediousandthoroughstudyisenumerateeachgridwhethersatisfiesr

8、型能夠直接描述實(shí)際的隨機(jī)過程。②根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)模型的特