探究絕對值函數(shù)最值的求法.doc

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1、探究絕對值函數(shù)最值的求法及應(yīng)用陜西省西鄉(xiāng)縣第二中學(xué)：王仕林郵編：7235002011年陜西省理科高考試題第14題。題目是：植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊,使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為米。該題考查了求絕對值函數(shù)的最小值問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=lx-10l+lx-20l+lx-30l+lx-2001的最小值問題。另外2009年上海高考有一道數(shù)學(xué)試題；其題目是：某地街道呈現(xiàn)東一西、南—北

2、向的網(wǎng)絡(luò)格狀，相鄰街距都為1。兩街道相交的點稱為格點。若以互相垂直一兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5)(6,6)為報刊零售點，請確定一個格點(除零售點外)為發(fā)行站，使6個零售點沿街道發(fā)行站之同路程的和最短。該題也需要轉(zhuǎn)化為求絕對值函數(shù)z=2lx+2l+2lx-3l+lx-4l+lx-6l+ly-ll+ly-2l+ly-3l+ly-4l+ly-5l+ly-6l的最小值問題。那么如何求這種多個絕對值和的函數(shù)的最小值問題呢？對此，筆者運用以下方

3、法進行了探索研究，得出了解決這種問題的基本方法，以此與各位同仁商榷。一、利用函數(shù)圖象研究這類函數(shù)的值域，從而達到求函數(shù)的最值：山于含絕対值函數(shù)可以等價化為分段函數(shù)，因此運用函數(shù)的圖象求函數(shù)的最值。例1求函數(shù)y=l2x-ll的最小值。2x-l(^>—解：山于函數(shù)y=l2x-ll=2,-2x+l(x<—)2作岀其圖象如右圖：曲圖象可知其當(dāng)x=-時,2原絕對值函數(shù)的最小值為0。例2求函數(shù)y=12兀一11+12x+21的最小值。4x+l(x>^)解：山于該函數(shù)y=l2x-l1+12x4-21=<3(-—

4、，細(xì)其圖彖如右圖所示。則當(dāng)--<%<丄時，其函數(shù)的最22小值為3：例3、求函數(shù)y=lx+ll+lx?ll+lx?2l的最小值。解：山于該函數(shù)可化成分段函數(shù)，則3x-2(x>2)x-4(l

5、-x2(x>x2)y=]x2~^x(xiw?！煊?)-2x+x,+x2(xx3)x+x3-x2-x](x2

6、象中知：當(dāng)口僅當(dāng)x=x2時該函數(shù)的最111?1I小值為兀一兀1。