漫談算術(shù)數(shù)與有理數(shù).doc

《漫談算術(shù)數(shù)與有理數(shù).doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、漫談算術(shù)數(shù)與有理數(shù)學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)之后，所研究的數(shù)的范圍，就由算術(shù)數(shù)(正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)和零)擴(kuò)充到了有理數(shù).那么隨著數(shù)的集合的擴(kuò)充，數(shù)的性質(zhì)是否也隨著發(fā)生變化了呢?這是一個值得大家認(rèn)真思考的問題.同學(xué)們可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，算術(shù)數(shù)的有些性質(zhì)，在有理數(shù)集合內(nèi)被“完整”地保留下來.如數(shù)0和1的運算性質(zhì)：“任何數(shù)同0相加仍得這個數(shù)；任何數(shù)同1相乘仍得這個數(shù)”，在有理數(shù)集合中仍然成立；加法和乘法的運算律在有理數(shù)中也仍然使用，并且有理數(shù)的四則運算的法則都是通過算術(shù)數(shù)的四則運算的法則加以規(guī)定的.但是大家一定要注意到，并不是算術(shù)

2、數(shù)集合的所有性質(zhì)都可以原封不動地搬到有理數(shù)集合中使用.也就是說，有些算術(shù)數(shù)所具備的性質(zhì)，在有理數(shù)集合中不一定成立；反之，算術(shù)數(shù)所不具備的性質(zhì)，在有理數(shù)集合中卻能夠成立.下面我們從幾個具體的方面加以說明.1．零的意義不再表示“沒有”．在小學(xué)學(xué)習(xí)自然數(shù)時，曾經(jīng)學(xué)過，自然數(shù)是數(shù)物體的個數(shù)而得到的．如從一只羊，兩個蘋果，三棵樹，…，十個手指頭等數(shù)具體物體的過程中，逐漸抽象產(chǎn)生出自然數(shù)1，2，3，…，10，….后來為了計算的需要和表示沒有物體，就想出了用“零”來代替，記作0，這是在小學(xué)算術(shù)中，我們對“零”的認(rèn)

3、識．在生活語言中，也常有類似的情況，如有人說：“張三的話等于零”，意思是指張三說了不起作用，和沒說一個樣.但是在有理數(shù)集合中，“0”不再表示“沒有”了.例如，某地海拔高度是0米，是指這一地點與海平面的高度一樣高，而不是指這個地點沒有高度.類似的例子，同學(xué)們自己也能夠舉出一些！2．零不再是最小的數(shù)了．在算術(shù)數(shù)中，0是最小的一個數(shù)，0以外的其它數(shù)都比0大.而在有理數(shù)集合中，卻既沒有最大的數(shù)，也沒有最小的數(shù).0不再是最小的有理數(shù)，比0小的有理數(shù)有無數(shù)多個，所有的負(fù)數(shù)都小于0．3．關(guān)于減法運算的封閉性．在算

4、術(shù)數(shù)中，我們知道，任意兩個算術(shù)數(shù)的和、積、商(除數(shù)不得為0)仍然還是算術(shù)數(shù).因此，我們就說算術(shù)數(shù)關(guān)于加法、乘法和除法具有封閉性.然而，算術(shù)數(shù)關(guān)于減法卻不具有封閉性.如2－3，小學(xué)同學(xué)都會說，這“不夠減的”或“減不著”.原因就是，被減數(shù)2小于減數(shù)3，在算術(shù)數(shù)中找不到這樣一個數(shù)，它與3的和等于2.因此，在算術(shù)數(shù)中，進(jìn)行減法運算有一個限定：被減數(shù)一定要不小于減數(shù)，這時差才存在(是個算術(shù)數(shù))，否則減法將無法進(jìn)行.在有理數(shù)集合中，這個限定被取消了，任何兩個有理數(shù)都能相減，并且差還是一個有理數(shù)，當(dāng)被減數(shù)大于減數(shù)

5、時，差是正數(shù)；當(dāng)被減數(shù)等于減數(shù)時，差是0；當(dāng)被減數(shù)小于減數(shù)時，差是負(fù)數(shù).有理數(shù)關(guān)于加法、減法、乘法、除法(除數(shù)不得為零)和乘方運算都具有封閉性.4．減法統(tǒng)一為加法．對于算術(shù)數(shù)而言，加法與減法是相互對立的：加法和減法互為逆運算，二者有各自不同的運算法則.在有理數(shù)集合中，加法和減法也互為逆運算，但根據(jù)有理數(shù)減法法則，便把有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行，從而使加、減這兩種運算統(tǒng)一為一種運算.有理數(shù)加法和減法二者之間的這種既相互對立又相互統(tǒng)一的關(guān)系，正是數(shù)學(xué)中充滿辯證法的一個生動事例.