等差、等比數(shù)列的綜合問題.doc

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1、專題2數(shù)列知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖解數(shù)列遞歸數(shù)列數(shù)列求通項(xiàng)數(shù)列極限數(shù)學(xué)歸納法求極限定義原理等比數(shù)列無究遞縮數(shù)列求和等差數(shù)列等比數(shù)列概念性質(zhì)證題技巧0≤αn＜≤αn＜12αn，一、數(shù)列的概念、性質(zhì)例①若數(shù)到{αn}滿足αn+1=若α1=則α2009的值為（）2αn－1，A.B.C.D.②αn=則數(shù)列{αn}最大項(xiàng)為（）A.α1B.α45C.α44D.α2007③通項(xiàng)為αn=n2－αn+1的數(shù)列{αn}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)α的取值范圍為_________二、等差數(shù)列、等比數(shù)列知識(shí)整合等差數(shù)列等比數(shù)列定義αn－αn－1=d（d為常數(shù)，n≥2，nN·）為常

2、數(shù)，n≥2，通項(xiàng)公式αn=α1＋（n－1）d或αn=αm+（n－m）dαnnα1=α1qn-1或αnnα1=αm·qn-m前n項(xiàng)和公式=nα1+(q=1)(q≠1)S=中項(xiàng)2αn=αn－1+αn+1(n≥2)αn2=αn－1·αn+1（n≥2）性等差數(shù)列的性質(zhì)（1）m，n，p，qN，若m＋n=p＋q，則αm＋αn=αp+αq，特別地α1＋αn=α2+αn-1=…（2）αn=αn+b（α，b是常數(shù)）是{αn}成等差數(shù)列的充要條件，（n，αn）是直線上的一群孤立的點(diǎn)（3）數(shù)列{αn}的前n項(xiàng)和Sn=αn2+bn(α≠0)是{αn}等比數(shù)

3、列的性質(zhì)α1＜0或α1＞0(1)m、n、p、qN·，若m＋n=p＋q，則αm·αn=αp·αq，特別地α1αn=α2αn－1=…0＜q＜1q＞1（2）當(dāng)時(shí)，{αm}為遞增數(shù)列，α1＜0α1＜00＜q＜1q＞1當(dāng)或時(shí)，{αn}為遞減數(shù)列（3）若{αn}和{bn}均是等比數(shù)列，則{αnbn}質(zhì)成等差數(shù)列的充要條件（4）等差數(shù)列的單調(diào)性d＞0{αn}為遞增數(shù)列，Sn有最小值。d＜0{αn}為遞減數(shù)列，Sn有最大值d=0{αn}均是等差數(shù)列，則（mαn+kbn）仍為等差數(shù)列，m、k為常數(shù)（6）等差數(shù)列中依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－

4、Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列，公差為k2d（7）項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列{αn},S2n=n(αn＋αn＋1);項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1的等差數(shù)列{αn},有S2n－1=(2n－1)αn(αn為中間項(xiàng))且仍為等比數(shù)列（4）等比數(shù)列中依次k項(xiàng)和成等比數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數(shù)列，其公比為qk（公比q不為－1）（5）等比數(shù)列中依次k項(xiàng)積成等比數(shù)列，記Tn為前n項(xiàng)積，即Tk，，，…成等比數(shù)列，其公比為要點(diǎn)熱點(diǎn)探究例1（1）已知兩個(gè)等差數(shù)列{αn}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n

5、的個(gè)數(shù)是()A.2B.3C.4D.5（2）已知等差數(shù)列{αn}的前n項(xiàng)和為Sn，若OB=α6OA＋α195OC，且A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過點(diǎn)O），則S200等于（）A.100B.101C.200D.201（3）與差數(shù)列{αn}中，S6=36，Sn=324，Sn－6=144，則n=___________（4）等差數(shù)列{αn}共有2n＋1次，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為319，偶數(shù)次之和為290則其中間項(xiàng)的值為（）A.α9=10B.α10=16C.α11=29D.α12=39例2等差數(shù)列{αn}的前n項(xiàng)和為Sn，α1=1＋，S3=9+（1）求

6、數(shù)列{αn}的通項(xiàng)αn，與前n項(xiàng)和Sn；3α1+3d=9+α1=＋1（2）設(shè)bn=，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列∴d=2【解析】（1）由已知得故αn=2n－1＋，Sn=n（n＋）（2）證明：由（1）得bn==n＋假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p,q,r互不相等)成等比數(shù)列，則=bpbr,q2－pr=0即(q+)2=（p+）（r+），∴（q2－pr）＋（2q－p－r）=02q－p－r=0∵p，q，rN·,∴∴=pr，即（p－r）2=0，∴p=r，這與p≠r矛盾∴數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可

7、能成為等比數(shù)列變式已知數(shù)列{αn}中，α1=，點(diǎn)（n，2αn+1－αn）在直線y=x上，其中n=1，2，3…（1）令bn=αn+1－αn－1，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{αn}的通項(xiàng)；（3）設(shè)Sn，Tn分別為數(shù)列{αn}，{bn}的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列？若存在，試求出；若不存在，則說明理由。解（1）αn+2－αn+1－1=(αn+1－αn－1)（2）α1=，2α2－α1=1α2=（1＋α1）=α2－α1－1=bn=αn+1－αn-1=·（）n+1αn＋1-αn=1－3()n+1Tn=Sn=∴

8、存在使{}等差例3已知數(shù)列{αn}為等差數(shù)列，公差d≠0，由{αn}中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列…，，…為等比數(shù)列，其中b1=1，b2=5，b3=17（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）記Tn=，求Tn解（1）∵∴∴∴又∴∴bn=2.3n-