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1、第四節(jié)柯西（Cauchy)點列和完備度量空間教學(xué)目標(biāo)：1、掌握柯西點列及完備度量空間的定義；2、會利用定義證明幾類典型空間的完備性，培養(yǎng)知識遷移能力；3、掌握并不是所有度量空間都完備，并會證明空間的不完備性．教學(xué)重點：完備度量空間的定義，定理1.教學(xué)難點：定理1的應(yīng)用，空間完備性的證明．1基本概念2完備度量空間的例子3子空間完備性定理4不完備度量空間的例子存在正整數(shù)當(dāng)時有則稱是中的柯西點列.類似地可以定義度量空間中的柯西點列.是中的點列，如果對任意給定的整數(shù)定義1設(shè)是度量空間，是中的點列,如果對任
2、何事先給定的整數(shù)存在正整數(shù)是當(dāng)時，必有則稱是中的柯西點列或基本點列.如果度量空間中每個柯西點列都在中收斂，那么稱是完備的度量空間.注意：這里要求在中存在一點，使該柯西點列收斂到這一點.由度量空間的定義，立即可知有理數(shù)全體按絕對值距離構(gòu)成的空間不完備，但維歐氏空間則是完備的度量空間.在一般的度量空間中，柯西點列不一定收斂，但是度量空間中的每一個收斂點列都是柯西點列.實際上，如果那么對任何正數(shù)存在使當(dāng)時，有因此，當(dāng)時，由三點不等式，得到即是柯西點列.中柯西點列的定義.設(shè)首先回憶一下例1是完備度量空間.
3、證明設(shè)是中的柯西點列，其中于是對于任意存在正整數(shù)當(dāng)時，(1)因此，對每一個固定的當(dāng)時，成立(2)這就是說，數(shù)列是柯西點列，因此，存在數(shù)使得令下面證明且在(2)式中,令我們得到，對一切成立(3)又因因此存在實數(shù)使得對所有成立因此，這就證明了由(3)式，可知對一切成立所以因此是完備度量空間.證畢.令表示所有收斂的實（或復(fù)）數(shù)列全體，對中任意兩點令易證是一度量空間，實際上它是的一個子空間.定理1完備度量空間X的子空間M，是完備空間的充要條件為M是X中的閉子空間.證明設(shè)M是完備子空間，對每個存在M中的點列
4、,使由前述，是M中柯西點列，所以在M中收斂，由極限的唯一性可知,即所以因此M是閉子空間.反之，如果是M中柯西點列，因X是完備度量空間，所以存在使由于M是X中閉子空間，所以,即在M中收斂.這就證明了M是完備度量空間.證畢.例2是完備的度量空間.證明有定理1，只要證是中的閉子空間即可.對任何存在因此對任何正數(shù)存在正整數(shù)當(dāng)時，對所有自然數(shù)成立特別取那么對所有有但因即當(dāng)時收斂，因此存在使對當(dāng)時，有于是當(dāng)時，成立這說明是柯西數(shù)列，因而收斂，即所以是中的閉子空間.證畢.例3是完備的度量空間.設(shè)是中的柯西點列.
5、于是對任何正數(shù)存在正整數(shù)使對一切有(4)因此對任何有這說明當(dāng)固定時，是柯西數(shù)列，所以存在使下面證明是上連續(xù)函數(shù)，且事實上，在（4）中令那么可以得到當(dāng)時，成立(5)這說明在上一致收斂于，由數(shù)學(xué)分析知，是上連續(xù)函數(shù)，因此且由（5）知，當(dāng)時，即這說明了是完備度量空間.證畢.下面舉一個不完備空間的例子.例4設(shè)表示閉空間上連續(xù)函數(shù)全體，對任何令那么成為度量空間.上面定義的度量空間不完備.證明令那么，是中的柯西點列.事實上，對任何正數(shù)當(dāng)時,但對每一個如果必有但由于在上連續(xù)，所以在上恒為0，在上恒為1，所以這與
6、在連續(xù)矛盾，因此不完備.證畢.5HpCo0RRhwFXtEyry-744o5zXi1a65!m997X7Pv5sejtq)-dsq%WYU3!v&CB4rOfbQmX6Z*69Y+7NwJt1MFAxBy8g%AjtbRcq7d7-aYeYoxyQ)u9HfSyPL&*GWzavcj)RV9%O*AY-opSNZzHk3FV84g)Gl4Q28QRYIZYqCqxATuCuAqV*SV+wQ$eMGN%fFYfan3YMAazevMag!H-zOGpHhhLe!eh&06ytD$SdrgoeVUR
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